Перемещения точки. Характеристика деформированного состояния точки.

Рассматриваются малые пластические деформации, т.е. деформации в данный момент времени. При деформации каждая точка смещается относительно первоначального своего положения. Пусть перемещение точки в пространстве определяется вектором . Его составляющие , тогда:

,

где 1, 2, 3 – направления разложения вектора согласно правилу параллелепипеда.

Если элементарный объем повернуть относительно осей 1, 2, 3, то составляющие относительно новых граней будут располагаться произвольным образом и тогда каждую из них можно разложить по правилу параллелепипеда на составляющие вдоль произвольных координат , рис. 4.1.

В этом случае векторная сумма:

Каждая тройка перемещений соответствует одной площадке, т.е.:

; ; .

Касательные составляющие равны нулю, тогда:

; ; ,

т.е. нормальные составляющие перемещений достигают экстремального значения. Направление оси определяется единичным вектором , оси - вектором , оси - вектором .

Рисунок 4.1 - Перемещение материальной точки

Таблица вида:

,

представляет собой геометрическую сумму указанных векторов, что определяет полное перемещение . Через единичные вектора можно записать сумму:

Направления, которые определяют площадки, где отсутствуют касательные напряжения, задаются единичными векторами , , . Тогда:

Если перемещения заданы в приращениях, тогда:

.

Через единичные вектора:

.

Перемещения, которые задаются единичными векторами , , :

Проекции вектора определяют этот вектор и по модулю и по направлению. Действительно:

; ,

где - углы между вектором и осями 1, 2, 3. При известных направляющих косинусах, известно направление вектора в пространстве. Это относится и к произвольным координатам . Направления 1, 2, 3 называют главными направлениями.