Напряженного состояния

Известна связь между напряжением и деформацией при одноосном напряженном состоянии, установленным Гуком:

,

где - относительные удлинения параллелепипеда вдоль оси под действием одного напряжения , – модуль упругости материала.

В направлении осей и , поперечных к действующей силе, имеет место деформация согласно закону Пуассона:

,

где - коэффициент Пуассона.

Соответственно для напряжений и имеем:

, ,

, .

Так как между напряжениями и деформациями линейная зависимость, то действует принцип суперпозиции или закон независимости действия сил, согласно которому :

; ;

.

Выражения предполагают, что не существует перекашивания прямых углов на гранях (углы сдвига) элементарного параллелепипеда.

Действие касательных напряжений искажают форму параллелепипеда. Принимается, что касательные напряжения или деформации сдвига не зависят от нормальных напряжений или линейных удлинений. Совокупность касательных напряжений , вызывает перекашивание граней, параллельных плоскости и оставляют без изменения другие грани. В соответствии со вторым законом Гука:

; ,

где – модуль упругости второго рода. Известно, что .

От действия напряжений

; ,

от касательных напряжений

; .

Все компоненты напряжений определяют составляющие деформаций:

, ;

, ;

, .

Последние выражения представляют собой обобщенный закон упругости для изотропного тела.

Компоненты тензора деформаций в данной точке тела находятся в линейной зависимости от компонентов тензора напряжений в той же точке.

При компонент тензора напряжений прямо пропорционален соответствующему компоненту тензора деформации.