Общая схема определения главных касательных напряжений.

При заданных величинах главных нормальных напряжений величины напряжений на наклонной площадке и изменяются при изменении направляющих косинусов нормали к площадке , т.е. при изменении положения наклонной площадки к главным осям. Касательное напряжение на наклонной площадке:

,

.

Выясним, в каких площадках касательные напряжения получают экстремальные значения. Пусть , тогда:

.

Дифференцируем по и приравниваем частную производную нулю, для нахождения экстремума

Преобразуя, имеем

,

или

.

Дифференцируя уравнение для по и приравнивая производную нулю, получим:

.

Решениями последних уравнений является , тогда , которые определяют экстремальные значения .

Далее, приняв , получим и . Подставляя , получим .

Из условия выражаем и , подставляя их в ( ), и производим, аналогичные выкладки. Получаем шесть групп значений направляющих косинусов, при которых касательные напряжения получают экстремальные значения.

Первые три группы значений направляющих косинусов определяют плоскости, в которых касательные напряжения принимают минимальные значения, равные нулю. Вторые три группы значений определяют плоскости, в которых касательные напряжения достигают максимальных значений.

Таким образом, имеем три пары площадок, расположенных под углом 45^о к главным, в которых касательные напряжения достигают максимальных абсолютных значений.

Подставляя в выражение для определения касательного напряжения значения направляющих косинусов, определим значения максимальных касательных напряжений:

, , .

Эти напряжения называются главными касательными напряжениями.

Нормальные напряжения в этих площадках получаться при подстановке значений направляющих косинусов в выражение для нормального напряжения на наклонной площадке т.е.:

, , .

Площадки, на которых действуют главные касательные напряжения, ещё называют, диагональными.