Экстремальные значения составляющих тензора напряжений.

Касательные напряжения равны нулю, тогда ; ; , т.е. нормальные напряжения достигают экстремального значения. Направление оси определяется единичным вектором , оси - вектором , оси - вектором .

Из рис. 3.2 видно, что существуют площадки, на которых составляющие тензора напряжений принимают экстремальные значения. Нормальное напряжение – максимальное, а касательное – минимальное, равное нулю. Полное напряжение и нормальное для данных площадок совпадает по величине и направлению. Такие площадки называются главными. Оси, перпендикулярные к главным площадкам называются главными осями, а нормальное напряжение на главных площадках – главными нормальными напряжениями и обозначаются . В дальнейшем принимается, что . Тензор напряжений

.

6. Главные напряжения, инварианты напряжений.

Из рис. 3.2 видно, что существуют площадки, на которых составляющие тензора напряжений принимают экстремальные значения. Нормальное напряжение – максимальное, а касательное – минимальное, равное нулю. Полное напряжение и нормальное для данных площадок совпадает по величине и направлению. Такие площадки называются главными. Оси, перпендикулярные к главным площадкам называются главными осями, а нормальное напряжение на главных площадках – главными нормальными напряжениями и обозначаются . В дальнейшем принимается, что . Тензор напряжений

.

Рассмотрим наклонную площадку, сориентированной таким образом относительно координатных площадок , , , чтобы полное и нормальное напряжение совпадали, следовательно, площадка была главной.

Проектируя главные напряжения на оси , , , получим:

; ; .

Подставляя значения , имеем:

;

;

.

Или:

;

;

.

Кроме этого . Последние выражения содержат четыре неизвестных (главное напряжение и его направляющие косинусы). Так, как выражения однородны, кроме этого одновременно косинусы не равны нулю, отсюда определитель системы равен нулю

,

где - неизвестная величина главного напряжения.

Раскрывая определитель, получаем кубическое уравнение вида:

,

где - коэффициенты, составленные из компонентов тензора напряжений.

Так как выбор произвольных площадок определяется поворотом координатных осей, а полное напряжение от этих поворотов не зависит. При этом от поворотов осей не зависят и главные напряжения, которые при векторном суммировании дают полное напряжение. Следовательно, от выбора системы координат не зависят и коэффициенты, являющиеся инвариантами тензора напряжений. При решении кубического уравнения получим три корня. Исследование направляющих косинусов показывают, что главные площадки по отношению друг к другу являются взаимно перпендикулярными. Выражения инвариантов имеют вид – линейный инвариант:

,

квадратный инвариант:

кубический инвариант:

Инварианты напряжений позволяют в дальнейшем определить обобщенные показатели напряженного состояния в главных и произвольных координатах.