Тензор напряжений. Закон парности касательных напряжений.

Выше показано, используя метод сечений и представление материальной точки в виде элементарного параллелепипеда, вектор напряжения имеет либо три вектора разложения, либо девять векторов разложения полного напряжения , рис. 3.3

Рисунок 3.3 - Схема действия напряжений на элементарный объем

Запишем проекции полного напряжения в произвольных координатах в виде таблицы:

- направление

- направление

- направление

X Y Z

Большие буквы X, Y, Z – показывают адреса площадок, нормали которых совпадают с направлениями . Нижние индексы имеют определенное функциональное назначение. Первый индекс показывает направление действия вектора напряжения, второй индекс указывает адрес площадки. Если первый индекс , следовательно, напряжение направлено параллельно оси . Если второй индекс , следовательно, площадка действия напряжения перпендикулярна оси , а ее нормаль параллельна этой оси. Два одинаковых нижних индекса заменяется одним.

Совокупность девяти величин называется тензором второго ранга. В общем случае тензор характеризует вектор в многомерном пространстве. В соответствии с характеристикой вектора он должен быть задан своими проекциями и по величине и по направлению. Величина напряжения характеризуется совокупностью всех проекций и определяется последовательным применением теоремы Пифагора, а направление - направляющими косинусами, или же направляющим тензором. Вектор в трехмерном пространстве представляется тремя составляющими (проекциями) и называется тензором первого ранга. Скалярная величина – это тензор нулевого ранга. Тензор второго ранга или тензор напряжений:

.

Если элементарный объем находится в равновесии, то следует закон парности касательных напряжений, т.е.:

,

касательные напряжения с одинаковыми нижними индексами равны.

С учетом последних соотношений, тензор напряжений записывается

.

Тензор напряжений полностью характеризует напряженное состояние в точке.