Напряжения на наклонной площадке

Составляющие тензора напряжений, исходя из геометрических соотношений, определяют напряжение (напряженное состояние) в данной точке и по модулю и по направлению. Однако этого может оказаться недостаточным, если необходимо определить напряжение по заданному направлению, т.е. на наклонной площадке. Докажем, если заданы напряжения в трёх взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через заданную точку, то напряженное состояние по любому направлению будет известно, следовательно будет известным и наряженное состояние в точке.

Проведём через данную точку , рис. 3.4, плоскость наклона к осям координат. Фигура тетраэдр, сливающаяся с точкой . Нормаль перпендикуляра к наклонной плоскости. Ее площадь , площади остальных граней . На взаимно перпендикулярные грани действуют составляющие тензора напряжений.

На наклонной грани действует полное напряжение . Напряжение может быть разложено по разным направлениям. В данном случае .

Если тетраэдр находится в равновесии, то имеем условия равновесия по координатным осям всех действующих сил:

;

;

.

Из построения ,

где направляющие косинусы

; ; .

Рисунок 3.4 - Напряжения на наклонной площадке

После преобразований и сокращений на , имеем:

;

;

.

Проекции полного напряжения на наклонной площадке содержат все компоненты тензора напряжений. По правилу параллелепипеда полное напряжение:

,

направляющие косинусы:

; ; .

Если известны проекции вектора на координатные оси , , , можно определить этот вектор по величине и направлению. В теории упругости и пластичности удобно вектор напряжений разложить не только по координатным направлениям , , , но и по другим, связанных с направлением наклонной площадки. Это нормальное и касательное направление к площадке. Используя теорему о проекции суммы, получим нормальное напряжение к наклонной площадке:

.

Подставляя значения :

Полное касательное напряжение в наклонной площадке по теореме Пифагора:

.

По формулам можно определить напряжения в любой наклонной площадке. Если заданы шесть напряжений, действующих в точке по трём взаимно перпендикулярным, то её напряженное состояние определено.

Следует добавить, что выражения могут быть использованы для вычисления внешней силы. Это уравнения связи между внешними силами на контакте и компонентами тензора напряжений или внутренними силами. Ещё их называют условиями на контуре, которые должны входить в математическую постановку задачи теории упругости или пластичности.