Интенсивность внутренних сил. Метод сечений.

Под действием внешних сил в теле возникают внутренние силы, уравновешивающие внешние. Величины внешних и внутренних сил характеризуются их распределением или интенсивностью, т.е. величиной усилия, приходящегося на единицу площадки поверхности на которую она действует. Интенсивность внутренних сил называется напряжением.

Воспользуемся методом сечений. Выделим в деформируемом теле материальную точку, бесконечно малый параллелепипед. Заменим действие отброшенных частей силами. Фрагмент сечения, бесконечно малая площадка , на которой действует бесконечно малая сила , рис. 3.1.

Рисунок 3.1 - Напряжение на произвольной площадке

Среднее напряжение . Если существует предел этого отношения , то утверждают, что напряжение в данной точке существует. Напряжение представляет собой вектор с направлением действующей силы. Если вектор по отношению к площадке расположен произвольно, то по правилу параллелепипеда его можно разложить на три составляющие. Одна направлена по нормали к площадке и называется нормальным напряжением , две другие взаимно-перпендикулярные, в плоскости площадки называются касательными напряжения и .

Полное напряжение в точке может быть разложено по правилу параллелепипеда на составляющие, которые расположены не на одной грани, а на взаимно перпендикулярных площадках. При этом грани элементарного объема перпендикулярны этим составляющим, тогда .

Если составляющие направлены произвольно относительно граней объема, то последние могут быть разложены тоже по правилу параллелограмма, как это сделано выше, рис. 3.2.

Рисунок 3.2 - Составляющие полного напряжения

В этом случае векторная сумма:

.

Каждая тройка напряжений действует на одной площадке, т.е.:

; ; .

Касательные напряжения равны нулю, тогда ; ; , т.е. нормальные напряжения достигают экстремального значения. Направление оси определяется единичным вектором , оси - вектором , оси - вектором .

Таблица вида:

= ,

представляет собой геометрическую сумму указанных векторов, что определяет полное напряжение . Через единичные вектора можно записать сумму:

.

Направления площадок, на которых отсутствуют касательные напряжения, задаются единичными векторами , , . Тогда:

.

Величины, стоящие перед единичными векторами называются проекциями полного вектора напряжений на соответствующую ось. Известно, что проекции вектора определяют этот вектор и по модулю и по направлению. Действительно:

; ,где - углы между вектором полного напряжения и осями 1, 2, 3. При известных направляющих косинусах, определяется направление вектора в пространстве. Это относится и к произвольным координатам . Направления 1, 2, 3 называют главными направлениями.