Высказывательная форма.

В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или несколько переменных: х < 8, х + у = 10. Эти предложения не являются высказываниями, так как не имеет смысла вопрос, истинны они или ложны - это высказывательные формы.

пример: Предложение «Число х – двузначное» не является высказыванием, т.к. относительно него нельзя определить: истинно это предложение или ложно. Но при подстановке конкретных значений вместо переменной оно обращается в истинное или ложное высказывание. Например, при х=7 мы получим ложное высказывание «Число 7-двузначное», а при х=27 - истинное высказывание «Число 27-двузначное». Такое предложение называют предикатом или высказывательной формой.

Высказывание, которое содержит переменную, принимающую различные значения, причем подстановка любого из значений переменной превращает это предложение в высказывание, называется предикатом или высказывательной формой. Каждая высказывательная форма образует множество высказываний.

пример: при подстановке различных значений вместо переменной в высказывательную форму «х+2=10» получаем однотипные высказывания: 8+2=10, 7+2=10, 6+2=10 и др.

По числу переменных, входящих в высказывательную форму (предикат), их делят на одноместные, двухместные и т.д. и соответственно обозначают: А(х), В(х; у) и т.д.

пример: предложения «Число х - однозначное» и «х+4=10» являются одноместными высказывательными формами (предикатами), а предложения

«х > у» и «х + у =8» - двухместными высказывательными формами.

Для каждой высказывательной формы нужно указать множество значений, которые может принимать переменная (переменные), входящая в эту высказывательную форму.

Множество значений, которые может принимать переменная (переменные) высказывательной формы (предиката), называется областью определения высказывательной формы (предиката).

Область определения высказывательной формы будем обозначать через Х и предикаты будем записывать с указанием области определения: А(х), хÎХ; В(х; у), х, уÎХ и т.д. Запись А(х), х Î Х, читают: «Высказывательная форма (предикат) А(х) задана на множестве Х».

пример: 1. А(х): «Слово х - существительное», его областью определения будет множество слов русского языка.

2. В(х): «х+5=13», Х=R.

3. С(х): «Четырехугольник х - прямоугольник», Х - множество четырехугольников.

4. D(х; у): «х+у=7», Х=R или Х=N.

Среди всех возможных значений переменной из области определения выделяют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание.

Множество тех значений переменной из области определения высказывательной формы (предиката), при подстановке которых получаем истинные высказывания, называется множеством истинности высказывательной формы (предиката).

Множество истинности высказывательной формы (предиката) будем обозначать буквой Т. Тогда, согласно определению, ТÌХ (множество Т является подмножеством множества Х).

пример:

1. А(х): «Слово х - существительное», его множеством истинности является множество глаголов русского языка.

2. В(х): «х+8=13», Т={5}.

3. С(х): «Четырехугольник х - ромб», Т- множество ромбов.

4. D(х; у): «х+у=5». Множество истинности этого предиката может быть различным в зависимости от области определения. Если Х=R или Х=Z, то Т – множество пар чисел, сумма которых равна 5, причем это множество будет бесконечным. Если Х=N, то Т={(1;4), (2;3), (4;1), (3;2)}.

5. Q(х): «х<8», где хÎN, тогда Т={1;2;3;4;5;6;7}.

Высказывательную форму, заданную на конечном множестве, можно задавать таблицей, в первой строке которой указываются элементы области определения, а во второй – истинно или ложно высказывание, получаемое из высказывательной формы при подстановке этих элементов вместо переменной.

пример: пусть высказывательная форма А(х): «Число х - нечетно» задана на множестве Х={1; 2; 3; 4; 5; 6}. Так как высказывание «Число 2 - нечетно» ложно, то числу 2 будет соответствовать значение высказывательной формы «л» (ложь). Числу 1 соответствует истинное высказывание «Число 1- нечетно».

Следовательно, высказывательная форма обращается в высказывание при подстановке конкретных значений из области определения вместо каждой переменной, входящей в форму. Но высказывательную форму можно превратить в высказывание и другим способом.