Основные законы распределения случайных величин и их параметры.

1. Закон распределения случайной величины устанавливает соотношение между возможными значениями случайной величины Х и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан в виде таблиц, формул, графически. Он дает полную информацию о свойствах случайной величины, позволяет оценить ее значение и определить вероятность нахождения ее значения в заданных границах.

Для дискретных и непрерывных случайных величин на практике часто применяют закон распределения в виде интегральной функции распределения F(x). Эта функция определяется вероятностью того, что случайная величина в i опыте примет значение, меньшее некоторого значения х:

Интегральная функция распределения имеет следующие свойства - она неотрицательная, т.е. F(x) > 0; неубывающая, т.е. F( ) > F( ), если ; изменяется от 0 до 1, т.е. F(- ) = 0, F(+ ) = 1.

Для описания распределения непрерывных случайных величин часто пользуются первой производной функции распределения , которую называют плотностью распределения. Это связано с тем, что производную функции распределения статистически (экспериментально) значительно проще определить, чем саму функцию распределения.

Плотность вероятности р(х) (дифференциальная функция распределения) определяется как предел отношения вероятности того, что случайная величина Х примет значение внутри бесконечно малого промежутка от х до х + dx к величине этого промежутка dx, когда dx 0:

Функция распределения выражается через плотность вероятности:

а) – интегральный; б) - дифференциальный

Рисунок - Законы распределения непрерывной случайной величины:

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал ( ) определяется как

Графически эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и прямыми Х = и Х = (рисунок б).

2. Математическое ожидание случайной величины (ее среднее значение) определяется как сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины Х на вероятность этих значений Р: