Преобразование и интеграл Фурье

Если функция задана на всей числовой оси и не является периодической, то ее нельзя разложить в ряд Фурье, но можно представить интегралом Фурье.

Если функция абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. то говорят, что функция принадлежит к классу

Теорема 1. Если то при любом несобственный интеграл

(1)

сходится, при этом функция непрерывна при любом и при

Доказательство.

Т.к. а интеграл сходится, то согласно признаку Вейерштрасса (см. §1, гл.2), интеграл (1) сходится равномерно, а согласно теореме 2 §1, гл.2 функция непрерывна. Вторую часть теоремы примем без доказательства.

Теорема 2. Если кусочно-непрерывная и имеет в каждой точке односторонние производные то в точках непрерывности функции имеет место равенство

(2)

а в точках разрыва правая часть (2) равна полусумме пределов слева и справа (без доказательства).

Замечание.Интеграл (2) сходится в смысле главного значения по Коши.

Равенства (1) и (2) называют соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье. Пишут оператор Фурье.

Преобразование Фурье аналогично преобразованию Лапласа и обладает аналогичными свойствами. В частности, согласно теореме 2 §1, гл.2.

т.е. если то Это свойство аналогично свойству дифференцирования изображения по Лапласу. Можно доказать, что если то если и при

Если функция четная, то

(3)

Из (3) видно, что функция четная. Тогда

(4)

Итак, если четная, то получаем косинус преобразования Фурье (3,4).

Аналогично, если функция нечетная, получим синус-преобразование Фурье

(5)

(6)

Подставим (1) в (2), получим

(7)

Формула (7) называется интегралом Фурье функции Ее можно записать в действительной форме

(8)

Сравним прямое и обратное преобразования Фурье (1,2) с рядом Фурье в комплексной форме:

(9)

(10)

(Ради удобства множитель поставлен в формулу ряда Фурье, а не в формулу коэффициентов ряда Фурье). Частоты периодической функции образуют арифметическую прогрессию с разностью При неограниченном увеличении т.е. при дискретный спектр становится непрерывным, а функция не периодической. При из (9) получим (1), а из (10) получим (2), т.е. вместо суммирования по дискретным частотам перейдем к интегрированию по параметру Поэтому функцию называют спектральной функцией (характеристикой), а спектром функции Этот спектр, согласно теореме 1, непрерывный.