Непрерывность функции. Классификация точек разрыва


 

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если предел её в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е. если

= . (1)

Пример 1. Покажем, что функция = непрерывна в точке = 0. Действительно, = 1 (см.пр.2 §3) и = 1, т.е. предел функции равен её значению. Согласно определению функция = непрерывна в точке

= 0.

Следствие 1. Если функция непрерывна в точке , то к пределу можно перейти под знаком функции, т.е.

= . (2)

Действительно, поскольку = , то = =

= , т.к. функция непрерывна. Следствие доказано.

Разность = называют приращением аргумента, а разность = = приращением функции в точке = .

Следствие 2. Если функция непрерывна, то бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение , т.е.

= 0. (3)

Действительно, перепишем равенство (1) так:

=0, ( ) = = 0. (4)

Следствие доказано.

Следствие 3. Если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна.

Чтобы доказать это следствие, достаточно равенство (4) прочитать справа налево.

Если требования непрерывности функции в точке не выполняются, т.е. функция не определена в точке или предел функции в точке не существует, или существует , но не равен значению функции в этой точке, то функция называется разрывной в точке , а сама точка называется точкой разрыва функции.

Определение 2. Если функция непрерывна в каждой точке интервала ( , ), то она называется непрерывной на этом интервале. Если = , то функция называется непрерывной в точке слева. Аналогично при =

= – непрерывной в точке справа.

Определение 3. Если функция непрерывна в каждой точке интервала ( , ), < и в точке = она непрерывна справа, а в точке = – слева, то она называется непрерывной на отрезке [ , ].

Пример 2. Доказать, что функция = непрерывна в каждой точке своей области определения.

Доказательство. Пусть – приращение аргумента в произвольной точке области определения функции. Тогда

= sin ( + ) – sin = 2sin ×cos ( + ).

Поскольку sin ® 0 при ® 0 (см. упражнение. в §3 гл.2), то и ® 0 при ® 0 (см. теорему 2 §4 гл.2). Тогда согласно следствию 3 функция = непрерывна в точке .

Что и требовалось доказать.

Аналогично можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны в своих областях определения. При этом, под основными элементарными функциями понимают следующие пять функций:

1) степенную = , Î R;

2) показательную = , > 0, ¹ 1;

3) логарифмическую = , > 0, > 0, ¹ 1;

4) тригонометрические = sin , = cos ;

5) обратные тригонометрические = arcsin , Î [ –1, 1],

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию

= в точке = 0.

Решение. Поскольку точка = 0 не входит в область определения этой функции, то она терпит разрыв в этой точке, не смотря на то, что имеет предел в этой точке.

Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию

= sgn в точке = 0.

Решение. =sgn = Очевидно, = –1, = +1, а = 0. Поэтому эта функция разрывна в точке = 0.

Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию

= sin в точке = 0.

Решение. Т.к. функция не определена в точке = 0 то она терпит в ней разрыв. Отметим, что эта функция не имеет предела в точке = 0 (см. пр.1 §3 гл.2).

Пример 6. Исследовать на непрерывность функцию = в точке = 0.

Решение. Поскольку функция не определена в точке

= 0, то она разрывна в точке. Заметим, что = ±¥.

Пример 7. Исследовать на непрерывность функцию Дирихле

=

Решение. Функция определена в каждой точке числовой оси. Пусть – произвольная точка числовой оси. Выберем две последовательности аргумента и , сходящиеся к . Пусть члены первой последовательности рациональные числа, а второй иррациональные. Тогда соответствующие последовательности значений функции =1 и = 0 сходятся к единице и к нулю соответственно. А это означает, что данная функция не имеет предела. Данная функция разрывная в каждой точке числовой оси.

Определение 4. Если функция имеет предел в точке , но он не совпадает со значением функции в этой точке или функция не определена в этой точке, то разрыв называется устранимым.

Если функция имеет в точке односторонние пределы, не равные между собой, то называется точкой разрыва первого рода. При этом = называется скачком функции в точке .

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечный в точке , то эта точка разрыва второго рода.

Например, точка в примере 3 является точкой устранимого разрыва, а в примере 4 – разрывом первого рода. Разрыв в примерах 5,6,7 второго рода.

Определение 5. Функция непрерывная на отрезке [ , ] за исключением конечного числа точек этого отрезка, в которых она терпит разрывы первого рода, называется кусочно-непрерывной на этом отрезке. Функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке этой оси.

Пример 8. Исследовать на непрерывность функцию

= ( ), целую часть величины .

Решение. Очевидно, функция терпит разрывы при Î Z. В остальных точках она непрерывная. При этом (0) = 0,

(± n) = ± n, n Î N,

( ) = ± n – 1 ¹

¹ (± n),

( ) = ± n =

= (± n).

Таким образом, функция имеет точки разрыва только первого рода, в них она непрерывна справа. Это пример кусочно-непрерывной функции на всей числовой оси.

 

§ 8. Свойства непрерывных функций

 

Теорема 1. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны следующие функции:

1) с , с , с = const; 3) × ;

2) ± ; 4) , ¹ 0.

Доказательство. Докажем третье утверждение теоремы. Поскольку предел произведения равен произведению пределов, то

( × ) = × = × . (1)

Равенство (1) и означает непрерывность функции × . Остальные утверждения доказываются аналогично.

Рассмотрим две функции = и . Сложная функция называется суперпозицией данных функций. Например, = – суперпозиция трех функций: логарифмической, тригонометрической и степенной.

Теорема 2. Если функция = непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке = ,то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. Поскольку функция = непрерывна, то

= = .

Используя первое следствие §7, получим

= ( ) = ( ) = ( ).

Последнее равенство можно переписать так:

= ( ). (2)

Равенство (2) и означает непрерывность сложной функции в точке .

Замечание. Теорема 2 даёт правило замены переменных при вычислении пределов непрерывных функций

= = . (3)

Теорема 3. Если функция = непрерывна в точке и ¹ 0, то существует окрестность , в которой функция сохраняет свой знак (без доказательства).

Функцию называют элементарной, если она получается путём конечного числа арифметических операций и суперпозиций пяти основных элементарных функций. Например, = , = – элементарные функции, а функции = sgn x, = , = не являются элементарными. Функция Дирихле также неэлементарная.

Поскольку все пять основных элементарных функций являются непрерывными в своих областях определения, то из теорем 1,2 вытекает следующее следствие: всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения. Заметим, что для неэлементарных функций это утверждение не справедливо.

Теорема 4. Всякая непрерывная на отрезке [ , ] функция ограничена этом отрезке, достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений M = sup , m = inf и принимает на нём все промежуточные значения из отрезка [ m, M]. (Без доказательства).

Замечание. Для функции, непрерывной на интервале ( , ), теорема 4 не справедлива. Например, функция = непрерывна на интервале (0,1), но не ограничена на нём и не достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Следствие. Если непрерывная на отрезке [ , ] функция принимает на его концах значения разных знаков, то найдётся хотя бы одна точка Î( , ), в которой функция обращается в нуль, т.е. = 0. Доказательство очевидно.

Следствие теоремы 4 часто используется для приближенного нахождения корней уравнения.

Пример. Найти корень уравнения = 0.

Решение. Рассмотрим функцию = . Она элементарная, поэтому непрерывная для всех ³ 0.

Вычислим (0) = 2 и (1) = –1.

Т.к. значения функции разных знаков, то корень уравнения лежит в интервале (0,1), т.е. 0 < < 1. Разделим отрезок [0,1] пополам и вычислим = . Отсюда следует, что < < 1. Разделим отрезок [1/2,1] пополам и вычислим =

= < 0. Отсюда следует, что < < , т.е. мы уже вычислили корень уравнения с точностью до 0,25 . Продолжая этот процесс, можно вычислить корень с любой наперед заданной точностью.

 



Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 384;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.021 сек.