Основные теоремы о пределах

Лемма. Для того, чтобы число было пределом функции в точке = , необходимо и достаточно, чтобы разность – была бесконечно малой в этой точке.

Доказательство. Обозначим разность – через , т.е. – = . Если – предел функции , то | – | = | | < " Î O ( , ). Но это означает, что является бесконечно малой в точке = . Необходимость доказана. Если – бесконечно малая, то

| | = | – | < " Î O ( , ). Последняя запись означает, что является пределом функции в точке = . Достаточность доказана.

Теорема 1. Пусть функции и определены в некоторой -окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки = . Если существуют пределы функций и в точке = , то существуют и следующие пределы:

1) ( + ) = + ,

2) ( × ) = × ,

3) = , если ¹ 0.

Доказательство. Пусть = , = . Тогда согласно лемме

= + , = + . (1)

Учитывая (1), запишем = = +

+ = + , или

= + (2),

где = – бесконечно малая (согласно теоремам 1–3 предыдущего параграфа).

Равенство (2) согласно лемме означает, что

= или = . Таким образом, третье утверждение теоремы доказано. Первое и второе утверждения доказываются аналогично. Доказать их самостоятельно.

Из второго утверждения теоремы вытекает следующее следствие: если = C = const, то (C ) =

= C , т.е. постоянную можно выносить за знак предела.

Теорема 1 значительно облегчает нахождение пределов.

Пример. Найти .

Решение. Используя теорему 1, запишем

= = =

= = 1.

Теорема 2 (о двух милиционерах). Пусть функции , , определены в некоторой -окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки = .

Если £ £ " Î O ( , ) и =

= = , то = .

Доказательство. Согласно лемме = + , = = + , где и – бесконечно малые в точке

= , т.е. | | < " Î O ( , ) и | | < " Î O ( , ). Данное в условии теоремы неравенство

+ £ £ + (3)

будет, очевидно, выполняться в наименьшей из трех окрестностей точки = , т.е. " Î O ( , ), = min( , , ).

Перепишем неравенство (3) так:

– < £ – £ < " Î O ( , ), или

| – | < " Î O ( , ).

Последнее неравенство означает, что = . Теорема доказана.

Теорема 3(правило замены переменной). Если существует предел функции в точке и существует предел функции в точке , причем = , то = . (Без доказательства).