Модели. 1. Минимизация затрат, необходимых для сокращения времени реализации проекта.

Обозначения:

(i, j) — работа проекта в соответствии с опре­делениями, данными в главе 7;

t_ij — нормальная продолжительность рабо­ты (i,j) (продолжительность работы при детерминированном подходе — ме­тод СРМ или ожидаемое время выпол­нения работы при стохастическом под­ходе — метод PERT);

— продолжительность работы (i,j) при максимально возможном ее сокраще­нии;

М_ij = t_ij – — величина максимально возможного со­кращения продолжительности работы (i,j) за счет дополнительных ресурсов;

С_ij — расчетные затраты на выполнение рабо­ты (i,j) при нормальной ее продолжи­тельности;

— расчетные затраты на выполнение рабо­ты (i,j) в условиях максимального со­кращения ее продолжительности за счет дополнительных ресурсов;

К_ij = ( – С_ij)/М_ij — удельные затраты на сокращение про­должительности работы (i,j) (на едини­цу времени).

Предположим, что любая дополнительная доля сокращаемого времени на выполнение работы потребует постоянной (неизмен­ной во времени) доли дополнительных затрат. При таком пред­положении для минимизации затрат на сокращение времени реа­лизации проекта можно использовать модель линейного программи­рования.

Для формулировки модели дополнительно введем следующие обозначения:

Р — множество работ проекта;

х_i — время наступления события i (событие-узел отражает факт завершения всех работ, входящих в данный узел);

у_ij — величина сокращения времени работы (i, j);

i = 1 —номер начального события для сети, описывающей проект;

i = п —номер конечного события для сети, описывающей проект;

T₀ — желательное время выполнения проекта.

При данных обозначениях модель линейного программирова­ния имеет вид

Если т — число работ, п — число событий, то описанная мо­дель имеет п + т переменных, т ограничений (2), т ограниче­ний (3), п + т ограничений (5) и одно ограничение (4). Итого п + т переменных и 3т + n + 1 ограничение.

Если {x_j*, у_ij*} — оптимальный план, полученный для модели (1)—(5), то у_ij* — время, на которое следует сократить продолжи­тельность выполнения работы (i,j); — минимальная сум­ма издержек, необходимая для сокращения времени выполнения проекта до T₀.

2. Метод анализа затрат PERT/COST. Метод основан на по­строении области допустимых затрат, при которых проект может быть реализован за определенное время. В результате применения метода СРМ или метода PERT может быть получено наиболее раннее и наиболее позднее время начала каждой работы. Далее строятся два графика: график совокупных затрат при наиболее раннем времени начала работ и график совокупных затрат при наиболее позднем времени начала работ.

Если фактические затраты на выполнение проекта будут нахо­диться внутри области, очерченной этими графиками, то проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критичес­кого пути. Если фактические затраты окажутся за пределами очерченной области, то продолжительность выполнения проекта увеличится.

Примеры. Пример 1. Минимизация затрат на сокращение времени реали­зации проекта.

Проект пусконаладки компьютерной системы состоит из вось­ми работ. В следующей таблице указаны взаимосвязь работ, нор­мальное время их выполнения и данные, характеризующие воз­можность сокращения продолжительности работ:

Определите минимальную продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ. Можно ли уменьшить продолжительность проекта при дополнительных затратах?

Вопросы:

1. Какова продолжительность проекта при нормальном време­ни выполнения работ?

2. Сколько работ в этом случае являются критическими?

3. Каковы затраты на выполнение проекта при нормальном времени выполнения работ?

4. С какими минимальными дополнительными затратами мож­но выполнить этот проект за 16 недель?

Решение. Найдем критический путь при нормальном време­ни выполнения работ. Используем для этого метод СРМ. Вводим в программу POMWIN исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Отсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 21 неделю. На критическом пути находятся работы В, D, Е, F, Н. Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжитель­ности работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных. В результате получаем затраты 18 700 руб.

Для определения минимальных дополнительных издержек, необходимых для того, чтобы снизить продолжительность проек­та до 16 недель, построим модель линейного программирования. Для этого на основании данных о непосредственно предшеству­ющих работах построим графическое представление проекта (рис. 1).

Рис. 1

Используя исходные данные, определяем удельные (в едини­цу времени) затраты К_ij на сокращение продолжительности работ. Получаем следующие результаты:

Окончание таблицы

Используя обозначения х_i — время наступления события i, у_ij — величина сокращения времени работы (i,j), получаем сле­дующую модель линейного программирования для определения минимальных издержек, необходимых для сокращения продолжи­тельности проекта с 21 до 16 недель:

при условиях

Для решения этой задачи линейного программирования ис­пользуем программу POMWIN.

В следующей таблице приведенная выше модель представлена в формате программы POMWIN:

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

Итак, минимальные затраты, необходимые для того, чтобы со­кратить продолжительность проекта с 21 до 16 недель, составля­ют 2260 руб.

Продолжительность каждой из работ (1, 3), (4, 5), (5, 6) и (3, 6) сокращается на одну неделю. Продолжительность работы (3, 4) сокращается на две недели.

Ответы: 1. 21 неделя. 2. Пять работ. 3. 18 700 руб. 4. 2260 руб.

Пример 2. Контроль затрат на выполнение проекта.

Перечень работ проекта, время их выполнения и оценки за­трат на выполнение работ отражены в следующей таблице:

Удельные затраты определены в предположении о том, что за­траты производятся равномерно в течение срока выполнения работы.

Определите, в каком диапазоне могут меняться фактические затраты на выполнение проекта при условии, что проект будет выполнен за минимальное время.

Вопросы:

1. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

2. При каком максимальном значении совокупных затрат, сде­ланных за первые 3 месяца реализации проекта, проект мо­жет быть выполнен за минимальное время?

3. При каком минимальном значении совокупных затрат, сде­ланных за первые 3 месяца реализации проекта, проект мо­жет быть выполнен за минимальное время?

4. При каком максимальном значении совокупных затрат, сде­ланных за 6 месяцев реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?

5. При каком минимальном значении совокупных затрат, сде­ланных за 6 месяцев реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?

Решение. Определим минимальное время выполнения проек­та. Найдем критический путь, воспользовавшись методом СРМ. Введем в программу POMWIN информацию о предшествующих работах и времени их выполнения:

Результаты расчетов представлены в следующей таблице:

Ожидаемое время выполнения проекта равно 8 месяцам.

Определим динамику совокупных затрат для графика выпол­нения проекта с наиболее ранним началом всех работ:

Определим динамику совокупных затрат для графика выпол­нения проекта с наиболее поздним началом всех работ:

Рис. 2

На рис. 2 показаны два графика. Выше проходит график совокуп­ных затрат при наиболее раннем времени начала работ, ниже — при наиболее позднем времени начала работ. Если фактические за­траты на выполнение проекта будут находиться внутри очерчен­ной области, то проект может быть выполнен за 8 месяцев. Если фактические затраты окажутся за пределами очерченной области, то продолжительность проекта увеличится.

Таким образом, менеджер может контролировать фактические затраты по проекту. Если сметные затраты не выполнены или до­пущен перерасход, необходимо осуществлять корректирующие воздействия, сдвигая время начала отдельных работ и (или) сокра­щая их продолжительность путем привлечения дополнительных ресурсов.

Ответы: 1. Восемь месяцев. 2. 43 тыс. руб. 3. 30 тыс. руб. 4. 77 тыс. руб. 5. 59 тыс. руб.