Центральное проектирование. Свойство взаимного расположения точек, прямых и плоскостей трехмерного проективного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости.

Центральное проектирование – преобразование пространства.

Для задания проективного пространства необходимо знать центр и плоскость, на которую производится проекция. При центральном проектировании сохраняется свойство инцидентности (принадлежности одной прямой или кривой второго порядка). Это свойство называется проективным.

Свойства центрального проектирования:

1) Прямая переходит в прямую;

2) сохраняется отношение инцидентности;

3) кривая второго порядка переходит в кривую;

4) плоскость переходит в плоскость;

5) при определённом выборе центра проектирования внутренняя точка фигуры может переходить во внешнюю, то есть не выполняется отношение трёх точек;

6) если точка удалена в бесконечность, то появляется параллельное проектирование, которое позволяет сохранить отношение трёх точек.

Проективная геометрия - раздел геометрии, изучающий только те свойства плоских фигур, которые сохраняются при любой цепи центральных проектирований. Такие свойства называются проективными. Фигура и её проекция геометрически тождественны.

Определение 1.1. Собственные точки – обычные точки, несобственные точки – бесконечно удалённые точки.

Взаимное расположение собственных и несобственных элементов определяется следующими утверждениями:

1) каждая прямая имеет одну несобственную точку;

2) несобственная точка прямой принадлежит любой плоскости, проходящей через эту прямую;

3) всякие две параллельные прямые имеют общую несобственную точку;

4) всякие две непараллельные прямые имеют различные несобственные точки;

5) совокупность всех несобственных точек плоскости есть несобственная прямая этой плоскости;

6) всякие две параллельные плоскости пересекаются по несобственной прямой;

7) совокупность всех несобственных точек пространства есть несобственная плоскость.

Определение 1.2. Расширенная прямая – это евклидова прямая, дополненная несобственной точкой (М_∞).

Если рассмотреть некоторую несобственную прямую R₁ || m, S є m. Т.к. точка S – центр пучка прямых, то можно сказать, что прямая m является образом точки М_∞, если установить некоторое отображение прямой в пучок S. Каждой точке прямой R^/ ставится в соответствие некоторая прямая пучка S, т.е. A→SA, B→SB, C →SC, М_∞→m

Определение 1.3. Расширенная плоскость – это евклидова плоскость, дополненная несобственными точками.

Определение 1.4. Расширенное пространство – это евклидово пространство, дополненное несобственной плоскостью.

Свойство 1. На каждой собственной прямой евклидовой плоскости имеется несобственная точка, и притом только одна.

Свойство 2. Параллельные прямые евклидовой плоскости пересекаются в несобственной точке. Параллельные прямые образуют пучок с центром в несобственной точке.

Определение 1.5. Проективной прямой называется непустое множество проективных точек, которые получаются в результате отображения π двумерного векторного пространства без нуля в пространство Р₁, удовлетворяющего условиям:

1) π(х)=π(у) ó когда х=λу, где λєR, λ≠0;

2) π – сюръекция, т.е. каждой точке из Р₁ соответствует хотя бы одно преобразование из векторного пространства.

Модель 1 проективной прямой: Проективную прямую рассматривают как пучок прямых двумерного векторного пространства, который отображается в прямую Р₁, причем прямой пучка соответствует точка, а плоскости - прямая.

Прямая ОХ → Х,

ОУ → У

Плоскость ХОУ → ХУ

Модель 2 проективной прямой: Проективную прямую можно рассматривать как окружность, если под точкой будем понимать две диаметрально противоположные точки данной окружности.

Определение 1.6.Проективной плоскостью называется непустое множество проективных точек, которые получены с помощью некоторого преобразования π: трёхмерного векторного пространства без нуля в плоскость P₂, удовлетворяющего условиям:

1) π(х)=π(у) ó когда х=λу, где λєR, λ≠0;

2) π – сюръекция, т.е. каждой точке из Р₂ соответствует хотя бы одно преобразование из векторного пространства.

Модель 1 проективной плоскости: Проективную плоскость рассматривают как связку прямых и плоскостей трёхмерного векторного пространства, которая отображается в плоскость Р₂, причём прямой связки соответствует точка, а плоскости – прямая.

Прямая ОХ → Х, Плоскость ХОУ → ХУ,

ОУ → У, ХОZ → ХZ,

ОZ → Z. УОZ → УZ.

Модель 2 проективной плоскости: Проективную плоскость можно рассматривать как сферу, если под точкой будем понимать две диаметрально противоположные точки данной сферы, а под прямой – множество пар диаметрально противоположных точек, лежащих на окружности большого круга.

Определение 1.7. Проективным пространством – называется непустое множество проективных точек, которые получаются с помощью отображения π четырёхмерного векторного пространства без нуля в пространство Р₃, удовлетворяющего условиям проективной плоскости.

Для любого числа измерений можно определить пространство любой размерности.

Свойства проективной плоскости, прямой пространства:

1) в отличие от евклидовой прямой проективная прямая есть замкнутая линия, т.к. нет точного расположения несобственной точки, и поэтому предполагается, что она замыкается в этой несобственной точке;

2) точка проективной прямой не разбивает её на две полупрямые;

3) две точки прямой разбивают её на два смежных класса;

4) на проективной прямой не имеет смысла понятие ,,лежать между”(как бы не были расположены точки А,В,С всегда найдется один из смежных отрезков по которому можно достичь точки В, выходя из точки А минуя точку С);

5) порядок точек на проективной прямой определяется понятием разделённости: если точки С и D принадлежат смежным классам, то говорят, что они разделяют пару АВ (АВ÷СD);

6) чтобы задать направление прямой необходимо указать три её точки;

7) две прямые одного пучка проективной плоскости разбивают остальные прямые этого пучка на два класса: каждый класс заполняет пары вертикальных углов. Разделённые пары прямых проектируются в разделённые пары точек;

8) проективная плоскость не разбивает проективное пространство на два полупространства и поэтому является односторонней поверхностью;

9) всякие две прямые разбивают проективную плоскость на две смежные области;

10) в проективной геометрии не работает понятие “лежать по одну сторону”.

Таблица 1