Порядок и хаос в больших системах. Понятие фрактала

Сложные системы состоят не только из большого числа элементов, но и большого числа разнообразных связей между ними. Для таких систем все труднее, а то и невозможно, вывести механизмы функционирования — у такой системы появляются свойства, которых не было у ее частей или элементов. Эволюцию динамических систем во времени оказалось удобным анализировать с помощью фазового пространства — абстрактного пространства с числом измерений, равным числу переменных, характеризующих состояние системы. Примером фазового пространства может служить пространство, имеющее в качестве своих координат координаты и скорости всех частиц системы. Для линейного гармонического осциллятора (одна степень свободы) размерность фазового пространства равна двум (координата и скорость колеблющейся частицы). Такое фазовое пространство есть плоскость, эволюция системы соответствует непрерывному изменению координаты и скорости, и точка, изображающая состояние системы, движется по фазовой траектории (рис. 13.2). Фазовые траектории такого маятника (линейного гармонического осциллятора), который колеблется без затухания, представляют собой эллипсы: = const.

В случае затухания фазовые траектории при любых начальных значениях оканчиваются в одной точке, соответствующей точке покоя в положении равновесия. Эта точка, или аттрактор, как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории. Это понятие является обобщением понятия равновесия: например, маятник из-за трения сначала замедляет колебания, а затем останавливается. На его фазовой диаграмме по одной оси откладывают угол отклонения маятника от вертикали, а по другой — скорость изменения этого угла. Получается фазовый портрет в виде точки, движущейся вокруг начала отсчета. Начало отсчета и есть аттрактор, поскольку как бы притягивает точку, представляющую движение маятника по фазовой диаграмме.

В более сложных движениях, например маятника часов с грузом на цепочке, груз играет роль механизма, подкачивающего энергию к маятнику, и маятник не замедляет колебаний. Если запустить часы энергичным толчком маятника, он замедлится до темпа, который обусловлен массой груза, после чего характер его движения останется неизменным. Если толчок будет слабым, маятник, замедляясь, вскоре остановится. Ситуации с сильным начальным толчком на фазовой диаграмме соответствует спираль, обвивающаяся все более плотно вокруг круговой орбиты, аттрактор будет в данном случае окружностью, т.е. объектом не более странным, чем точка. Разным маятникам соответствуют аттракторы, которые называют предельными циклами.

Все фазовые траектории, соответствующие разным начальным условиям, выходят на периодическую траекторию, которая отвечает установившемуся движению: если начальные отклонения были малыми, они возрастут, а если амплитуды были большими, то уменьшатся. Биение сердца тоже изображается предельным циклом — установившимся режимом. Если движение состоит из наложения двух колебаний разных частот, то фазовая траектория навивается на тор в фазовом пространстве трех измерений. Это движение устойчиво, а две фазовые траектории, начинающиеся рядом, будут навиваться на тор, не уходя друг от друга. Ситуация соответствует устойчивому установившемуся движению, к которому сама стремится.

При хаотическом движении фазовые траектории с близкими начальными параметрами быстро расходятся, а потом хаотически перемешиваются, так как они могут удаляться только до какого-то предела из-за ограниченности области изменений координат и импульсов. Так фазовые траектории оказываются расположенными достаточно близко друг к другу, создавая складки внутри фазового пространства. (Это возможно только при размерностях n > 3 — лишь в 3-м измерении начинают складываться плоские траектории.) Возникает область фазового пространства, заполненная хаотическими траекториями, — странный аттрактор. На рис. 13.3 изображен такой аттрактор, полученный Э.Лоренцом на ЭВМ. Видно, что система (изображаемая точкой) совершает быстрые нерегулярные колебания в одной области фазового пространства, а

затем случайно перескакивает в другую область, через некоторое время — обратно. Так динамический хаос «обращается» с фазовым пространством. От этих «хаотичностей» нельзя избавиться. Они внутренне присущи системам со странными аттракторами. Хаотические движения в фазовом пространстве порождают случайность, связанную с появлением сложных траекторий в результате растяжения и складывания в фазовом пространстве. Важнейшее свойство странных аттракторов — фрактальность. Фракталы — это объекты, проявляющие по мере увеличения все большее число деталей. Их начали активно исследовать с появлением мощных ЭВМ. Объекты элементарной геометрии — прямые и окружности — природе не свойственны, структура вещества чаще принимает замысловато ветвящиеся формы, напоминающие обтрепанные края ткани. Примеров подобных структур много: это и коллоиды, и отложения металла при электролизе, и клеточные популяции, и форма облаков. И даже удивительно, что они долгое время были в стороне от магистральной линии развития науки. Описывая мир «языком математики», как выразился Галилей, наука использовала идеальные модели прямой, окружности и т.д., все более отдалялась от реальной природы, от «морфологии аморфного». Подобие объектов природы может выявляться по разным признакам, и математическое понятие фрактала выделяет объекты со структурами разных масштабов. Тем самым в этом понятии отражен иерархический принцип организации мира, и в некотором смысле другая идеализация его.

В одной из первых работ, выполненных в начале 60-х гг. XX в., изучалась именно такая модель. Развитие начинается с одной частицы — зародыша. Вводится правило: при касании первой частицы вторая «прилипает» к ней и остается на месте. Вторая частица может диффундировать к первой либо по случайной траектории, либо в результате обычного броуновского движения. Рост продолжается, ЭВМ описывает структуры размером до 100 тыс. частиц. Кривая зависимости между массой и радиусом подобной фигуры описывается степенным законом с показателем 2,5. Если процесс «прилипания» ограничить движением частиц только по случайным прямым, то этот показатель снижается до 2, т.е. площадь, заполненная материалом, растет как квадрат радиуса. При небольшом числе испытаний получаются как бы пятна с бахромой, а при большем росте — до нескольких миллионов частиц — эти кружева постепенно исчезают, и структура вырисовывается все четче. Так, при электролизе образуется слой меди, масса которого растет не как куб радиуса (что можно было бы ожидать для металлической сферы), а по степенному закону с показателем 2,4. Получается, что «зародыш» то растет, то нет. Шарик меди тоже имеет фрактальную структуру.

Фракталы (от англ. fractial — дробный) имеют дробную размерность. Геометрию объектов, содержащих элемент случайности, описывают в рамках своеобразной дробной размерности. Термин «фрактал» был введен Б. Мандельбротом в 1977 г. в книге «Форма, случайность и размерность». Он считал, что введение фрактальных множеств позволяет объяснить и предсказать многие явления в самых различных областях. Пример — медленное впрыскивание подкрашенной краской воды в тонкий прозрачный слой вязкой жидкости между двумя близко расположенными пластмассовыми пластинками. Вода распространяется от места впрыскивания, образуя ветвящиеся радиальные узоры. Измеренная площадь прожилок растет по степенному закону как функция радиуса с показателем 1,7 (расчетная модель дает 1,68). При пробое диэлектрика тоже возникают разветвленные структуры разряда, связанные с фрактальными размерностями. Были воспроизведены и наиболее известные фрактальные формы, самовоспроизводящиеся структуры снежинок — их шестиугольные формы возникают из-за диффузии на треугольных решетках. Такие решетки были выбраны для удобства проведения численного эксперимента. К процессу роста добавляется шум — на каждом шаге точка роста определялась случайным образом из многих равновероятных вариантов. Манипулируя в математической модели вероятностями, можно управлять качеством шума, после чего проявляется анизотропия, делающая некоторые направления роста решетки предпочтительнее. Реальная диффузия молекул воды наблюдается в пространстве, окружающем снежинку.

Хаос порождает фракталы, а фазовая траектория фракталов обладает самоподобием, т. е. при выделении двух близких точек на фазовой траектории фрактала и последующем увеличении масштаба траектория между этими точками окажется столь же хаотичной, как и вся в целом. В программе ЭВМ это увеличение масштаба достигается уменьшением временного шага при решении динамических уравнений. Траектория броуновской частицы тоже обладает фрактальными свойствами. Множество Мандельброта воплощает достаточно общий принцип перехода от порядка к хаосу. Идея его состояла в том, чтобы вместо действительных чисел рассмотреть комплексные и наблюдать развитие процесса не на прямой, а на плоскости, т.е. увеличить и размерность от 1 до 2. Оказалось, что при переходе к хаосу важны границы между областями, и каждая точка стремится или к своему центру области (аттрактору), или остается на границе и не может принимать определенные значения. С изменением параметров меняются области аттракторов и их границы. Если же граница превращается в пыль, взрываются и множества Мандельброта.