Концентрация носителей заряда в полупроводнике

Электрические характеристики полупроводника прежде всего определяются концентрацией носителей заряда в зоне проводимости и в валентной зоне.

Для расчета концентрации носителей заряда используются две функции.

Функция f_n(E)– функция распределения, определяет вероятность заполнения электронами квантового состояния с энергией Ев зоне проводимости. Аналогично для дырок в валентной зоне – функция f_p(e). В дальнейшем будем рассматривать функции для электронов. Аналогичный вид будут иметь функции и для дырок.

Для электронов вид функции:

функция распределения Ферми-Дирака.

Здесь: E_F – энергия Ферми, физический смысл которой рассмотрен ниже. График этой функции при разных температурах представлен на рисунке.

При T=0К f(E) имеет вид ступеньки (рис.3.21):

при ,

при > .

Это говорит о том, что все уровни энергии с Е E_F заняты электронами. Электронов с энергией Е > E_F при T=0К нет. А отсюда следует, что E_F – это максимальная энергия, которую может иметь электрон при температуре абсолютного нуля.

Если Т>0К, то происходит размытие ступеньки. Это говорит о том, что с увеличением температуры повышается вероятность заполнения электронами уровней с энергией Е>E_F. Причем, при Е=E_F f(E)=1/2. Отсюда следует определение энергии Ферми. При температуре T>0К энергия Ферми имеет смысл энергии уровня, вероятность заполнения которого электронами равна 1/2.

Функция g_n(E) – функция плотности квантовых состояний. Она выражает число квантовых состояний, приходящихся на единичный интервал энергии в пределах разрешенной зоны.

Функция плотности квантовых состояний электрона в зоне проводимости имеет вид:

. (3.10)

где: V – объем кристалла, m*_n – эффективная масса электрона,

Концентрация электронов в зоне проводимости может быть определена как:

Выполняя преобразования и учитывая выше изложенное, получаем для электронов

.

Аналогично можно определить концентрацию дырок в валентной зоне:

. (4.4)

Величина называется эффективным числом состояний в зоне проводимости, приведенным ко дну зоны.. N_C является одной из важнейших характеристик полупроводникового кристалла. Ее значение для разных полупроводников приводится в справочниках. Для Si N_C=2,8*10¹⁹ см ^-3.

Функция определяет вероятность заполнения электронами дна зоны проводимости.

Таким образом, концентрация электронов в зоне проводимости определяется произведением эффективного числа состояний в зоне проводимости на вероятность заполнения электронами дна зоны.

N_V – эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны. Для Si N_V=1,04*10¹⁹ см^-3. Все, что было сказано относительно n₀, относится и к р₀.

Из приведенных соотношений видно, что n₀ и р₀ чрезвычайно сильно зависят от температуры Т, поскольку она входит в показатель экспоненты. Видно так же, что концентрация носителей заряда в зоне проводимости и в валентной зоне определяется положением уровня Ферми E_F относительно дна или потолка энергетических зон. Чем ближе уровень Ферми, например, ко дну зоны проводимости, тем выше в ней концентрация электронов и тем меньше концентрация дырок в валентной зоне.