Решение типовых задач.

Пример 1. По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков (табл. 2.1). Требуется:

1. Для характеристики зависимости y от x рассчитать параметры линейной функции.

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Таблица 2.1

Решение:

Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+bx решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

По исходным данным рассчитываем åy, åx, åyx, åx², åy² (табл.2.2):

Таблица 2.2

	y	x	yx	x2	y2			Ai
	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	61,3	7,5	10,9
	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7	7,7
	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	57,1	2,8	4,7
	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2	2,1
	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-1,5	2,7
	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	60,5	-6,2	11,4
	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49	57,8	-8,5	17,2
Итого	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76	405,2	0,0	56,7
Среднее значение	57,89	54,90	3166,05	3048,34	3383,68	x	x	8,1
s	5,74	5,86	x	x	x	x	x	x
s2	32,92	34,34	x	x	x	x	x	x

Тогда

Уравнение регрессии: . С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35%-ных пункта.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

.

Связь умеренная, обратная. Определим коэффициент детерминации:

.

Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора x.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

.

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%.

Рассчитаем F-критерий:

Поскольку 1£ F £¥, следует рассмотреть F^-1. Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Н₀ о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

Пример 2. По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции y от факторов, приведенных в табл. 2.3:

Таблица 2.3

Признак-фактор	Уравнение парной регрессии	Среднее значение фактора
Объем производства, млн руб., x1
Трудоемкость единицы продукции, чел.-час, x2
Оптовая цена за 1 т энергоносителя, млн руб., x3
Доля прибыли, изымаемой государством, %, x4

Требуется:

1. Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.

2. Ранжировать факторы по силе влияния.

Решение:

1. Для уравнения равносторонней гиперболы :

.

Для уравнения прямой :

.

Для уравнения степенной зависимости :

.

Для уравнения показательной зависимости :

2. Сравнивая значения , ранжируем x_j по силе их влияния на себестоимость единицы продукции:

а) ; б) ; в) ; г) .

Для формирования уровня себестоимости продукции группы предприятий первоочередное значение имеют цены на энергоносители; в гораздо меньшей степени влияют трудоемкость продукции и отчисляемая часть прибыли. Фактором снижения себестоимости выступает размер производства: с ростом его на 1% себестоимость единицы продукции снижается на –0,97%.