Площади многоугольников
Два многоугольника называются смежными, если они имею одну или несколько общих сторон или частей сторон, но не имеют ни одной общей внутренней точки.
Если в двух данных смежных многоугольниках не рассматривать их общих сторон, то образуется третий многоугольник, который называется суммой первых двух.
Внутренняя область суммы двух многоугольников содержит внутренние точки каждого из исходных многоугольников и только эти.
Установить систему измерения площадей многоугольников, значит поставить в соответствие каждому многоугольнику положительное число, называемое его площадью, и обладающее следующими свойствами:
1. Квадрату со стороной равной единице длины соответствует число равное 1.
2. Равным многоугольникам соответствует одна и та же площадь, независимо от занимаемого ими положения в пространстве(свойство инвариантности).
3. Многоугольник, представляющий собой сумму двух многоугольников, имеет площадь, равную сумме площадей составляющих его многоугольников (свойство аддитивности).
Два многоугольника, имеющие одну и ту же площадь называются равновеликими.
Прямоугольник
Прямоугольник— четырёхугольник, у которого все углы прямые
Основанием прямоугольника называется одна из его сторон. Сторона, перпендикулярная основанию, называется высотой прямоугольника. Основание и высота прямоугольника называются его измерениями.
Теорема: Площадь прямоугольника S, стороны которого имеют длины a и b, выражается формулой S=ab.
Доказательство: Покажем, что при этом выполняются все свойства измерения площадей многоугольников.
1. Прямоугольник с измерениями 1 и 1 (т.е. квадрат со стороной 1) дает S=1×1=1.
2. Рассмотрим два прямоугольника с измерениями и , такие что , . Т.е. прямоугольники равны. Площадь первого из них , второго , т.к. , то
3. Рассмотрим прямоугольник с измерениями , .
Тогда , но Þ
Параллелограмм
Параллелограмм– это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Теорема: Площадь параллелограмма измеряется произведением его основания на высоту
Доказательство: самостоятельно
Треугольник
Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту
Доказательство: самостоятельно
Теорема(формула Герона): Площадь треугольника может быть найдена по формуле
Доказательство: самостоятельно
Теорема: Произведение трех сторон треугольника равно учетверенному произведению площади треугольника на радиус описанной окружности:
Доказательство:
Проведем высоту ВН и диаметр ВВ¢. Рассмотрим DВНС и DВАВ¢. Они оба прямоугольные (почему?
)
и Ð АВ¢В=ÐАСВ (почему?
)
Следовательно, они подобны. Значит откуда . Умножая на АС обе части, получим требуемое(покажите!
)
Следствие: площадь треугольника может быть найдена как .
Круг
Теорема: Если в окружность вписать правильный многоугольник и описать правильный многоугольник с тем же числом сторон, которые неограниченно удваивать, то площади вписанного и описанного многоугольников будут стремиться к одному и тому же пределу, называемому площадью круга.
Доказательство: самостоятельно, аналогично теореме о периметрах вписанного и описанного многоугольников
Теорема: Площадь круга измеряется половиной длины окружности, умноженной на радиус.
Доказательство: самостоятельно, аналогично теореме о длине окружности
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 286;