Моменты инерции относительно точки и оси

Рис. 2.2

Моментом инерции системы материальных точек массой m_К относительно точки О, состоящей из N точек, называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до точки О (рис. 2.2), т.е.

(2.4)

Моменты инерции относительно точки часто называют полярным моментом инерции.

Момент инерции твердого тела относительно точки О будет определятся следующим выражением:

, (2.5)

где dm – масса элементарной частицы тела, принимаемой в пределе за точку;

а – расстояние частиц тела до точки О. Интегрирование ведется по всему объему.

Моментом инерции системы материальных точек относительно оси называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси (рис. 2.2):

(2.6)

В случае твердого тела сумму следует заменить интегралом:

. (2.7)

Здесь , где – плотность тела, V – объем тела. Моменты инерции одинаковых по форме тел, изготовленных из различных материалов, отличаются друг от друга.

Характеристикой, не зависящей от массы тела, является радиус инерции. Радиус инерции относительно оси определяется равенством:

. (2.8)

Тогда момент инерции относительно оси можно определить по формуле

. (2.9)

Из равенства (2.9) следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела относительно оси .