Числовые характеристики непрерывного случайного процесса

Это те же математическое ожидание Мx, дисперсия Dx и среднеквадратическое отклонение σξ. Физический смысл этих числовых характеристик, введённых для дискретного случайного процесса, сохраняется и для непрерывного процесса с небольшими изменениями.

Для дальнейшего рассуждения необходимо вспомнить что-то из интегрального исчисления:

неопределённый интеграл

определённый интеграл

несобственный интеграл

Определение. Математическое ожидание Мx случайной величины x определяется формулой

в предположении, что интеграл существует (сходится). Ещё раз подчеркнём, смысл математического ожидания как среднего значения случайной величины сохраняется.

Все свойства математического ожидания, приведённые ранее для дискретных случайных величин, имеют место и для непрерывных случайных величин.

Определение.Дисперсия Dx непрерывной случайной величины x определяется равенством

или аналогично дискретным случайным величинам выпишем формулу, удобную для вычислений .

Дисперсия непрерывной случайной величины имеет те же свойства, что и дисперсия дискретной случайной величины.

Определение.Величина σξ называется среднеквадратическим отклонением и также определяется по формуле σξ = .

Задача 1. Случайная величина имеет плотность распределения

.

Найти параметр h, F(x), P(1<ξ<5), Мξ, Dξ, σξ и построить графики p(x) и F(x).

а) Параметр h определим из условия .

, 5h = 1, отсюда h = 1/5. Следовательно,

Построим график p(x).

б) Для нахождения вероятности попадания в интервал воспользуемся формулой P(a < ξ < b) = .

в) Математическое ожидание вычислим по формуле .

г) Дисперсию вычислим по формуле .

.

д) Среднеквадратическое отклонение σξ= ≈ ≈ 1,5.

е) Построим функцию распределения.

Если x≤–2, то

Если –2<x<3, то

Если x≥3, то Следовательно,

Построим график F(x).

Задача 2. Функция распределения случайной величины ξ задана выражением

Найти параметр a, p(x), P(0,25<ξ<0,5), P(-1<ξ<2), Мξ, Dξ, σξ и построить графики p(x) и F(x).

а) Параметр a определим из условия непрерывности функции распределения в точке x=1. Имеем ax=1, отсюда a=1. Следовательно,

Построим график F(x).

б) Выпишем плотность распределения p(x) по формуле :

.

Построим график p(x).

в) Для нахождения вероятности попадания значения случайной величины ξ в заданный интервал воспользуемся формулой P(a < x < b) = F(b) – F(a):

P(0,25<ξ<0,5) = F(0,5) – F(0,25) = 0,5² – 0,25² = 0,1875.

P(– 1<ξ<2) = F(2) – F(– 1) = 1 – 0 = 1.

г) Математическое ожидание вычислим по формуле :

д) Дисперсию вычислим по формуле :

г) Среднеквадратическое отклонение σξ= ≈