Плотность распределения

Непрерывные случайные величины

Определение. Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.

Для непрерывных случайных величин выписать закон распределения невозможно. Выберем другой подход к анализу таких случайных величин, основанный на свойстве непрерывности.

Плотность распределения

Пусть x – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность попадания значения случайной величины в интервал от х до (х+Dх) P(х < x < х + Dх).

Ясно, что при Dх ® 0 P(х < x < х + Dх)® 0.

Определение. Плотностью распределения случайной величины р(х) называется предел отношения P(х < x < х + Dх) к Dх при Dх ® 0, если такой предел существует:

.

Очевидно, что p(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина x примет значение из промежутка [a, b] конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x₁, х₂,¼, х_n, удовлетворяющие условию а=х₀<х₁<x₂<¼<x_n<b=x_n+1. Эти числа разобьют промежуток [a, b] на (n+1) частей, представляющих собой промежутки [х₀, х₁), [х₁, х₂), ¼,[х_n, b]. Введём обозначения:

Dх₀= х₁ – х₀, Dх₁= х₂ – х₁, ¼, Dх_n = b – х_n,

и составим сумму . Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина Dх_i стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:

P(a £ x £ b) = . (3)

Это равенство также можно рассматривать как определение функции р(х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой интервал (х₁, х₂) равна площади фигуры, образованной отрезком [х₁, х₂] оси х,графиком функции р(х) и вертикальными прямыми х = х₁, х = х₂, как изображено на рисунке.

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для р(х) – её плотности распределения справедливо равенство