ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§2.1. Числовые последовательности

Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число :

, , ,…

…

,

то говорят, что задана числовая последовательность . Другими словами, числовая последовательность — это действительные числа, занумерованные всеми натуральными числами и расположенные в порядке возрастания номеров. Эти действительные числа называются членами или элементами последовательности. Элемент следует за элементом , а предшествует элементу . Числовую последовательность будем кратко обозначать символом .

Число называют общим или -м членом последовательности. Числовая последовательность считается заданной, если указан метод вычисления общего члена при каждом значении . Чаще всего указывается формула для общего члена последовательности, используя которую вычисляют члены последовательности.

Примеры

Решение.Подставляя в общий член последовательности вместо натуральные числа , получим:

a) ; б) ●

Рассмотрим числовую последовательность и некоторую окрестность точки — . Далее будет часто встречаться ситуация, когда все члены последовательности , кроме конечного числа, будут принадлежать этой окрестности.

Замечание. Следующие условия равносильны:

1. Окрестности принадлежат все члены последовательности , кроме конечного числа, т.е. вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности .

2. При всех члены последовательности принадлежат окрестности , где — некоторое натуральное число.

3. Неравенство справедливо при всех , где — некоторое натуральное число.

Доказательство

1 2.Вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности : Обозначим через любое число, которое больше чисел . Тогда все члены последовательности, номера которых принадлежат окрестности .

2 3.При всех справедлива цепочка импликаций:

.

3 1. При всех справедлива цепочка импликаций:

.

Отсюда следует, что только члены последовательности могут не принадлежать окрестности , т.е. вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности .▲

Числовая последовательность является числовым множеством, поэтому можно говорить о верхней и нижней грани последовательности. Отсюда следует, что:

а) последовательность ограничена, если для любого ;

б) последовательность неограничена, если для любого найдется элемент этой последовательности, для которого .

Теорема 2.1. Справедливы следующие утверждения.

1. Если интервал содержит все члены последовательности , начиная с некоторого номера , то эта последовательность является ограниченной.

2. Если при каждом равносильны неравенства:

,

где — число, не зависящее от номера , то неравенство справедливо при всех .

3. Если неравенство справедливо для всех членов последовательности с номерами , то неравенство справедливо при всех и при любом .

Доказательство