Основное уравнение гидростатики

Гидромеханические процессы и аппараты

ГИДРОСТАТИКА

В гидростатике рассматриваются условия (законы) равновесия покоящейся жидкости. Поскольку жидкость находится в состоянии покоя, в ней не проявляются силы вязкого трения. В покоящейся жидкости действуют массовые и поверхностные силы.

В работе [1] из уравнения Навье – Стокса (как частный случай) было получено уравнение равновесия Эйлера:

(1.1)

Распишем это уравнение по осям в декартовой системе координат:

(1.2)

где X, Y, Z – проекции единичных массовых сил по осям x, y, z; , , – градиенты давлений по направлениям осей x, y, z.

Преобразуем систему уравнений (1.2). Для этого первое уравнение системы (1.2) умножим на dx, второе – на dy, третье – на dz и, сложив эти три уравнения, получим:

.

Правая часть полученного уравнения представляет собой полный дифференциал давления. Следовательно, можно записать:

. (1.3)

Полученное уравнение не содержит частных производных и более удобно для практического использования. Уравнение (1.3) называется основным дифференциальным уравнением гидростатики. Так как dp является полным дифференциалом, а плотность жидкости r является постоянной величиной, то выражение в скобках правой части будет также полным дифференциалом некоторой функции координат dU (x, y, z). Эта функция является потенциалом сил. Таким образом, равновесие жидкости возможно, если массовые силы имеют потенциал.

Уравнение (1.3) дает закон распределения давления внутри жидкости при заданной системе сил.

Рассмотрим поверхность равного давления. Для этого случая , поскольку , тогда в качестве общего уравнения поверхности равного давления в декартовой системе координат получим:

. (1.4)

Некоторые свойства поверхности равного давления:

– две поверхности уровня не пересекаются (для одной поверхности , для другой – , в точке их пересечения было бы , а это не так);

– внешние массовые силы направлены нормально к поверхности уровня (доказательство от обратного).

Свободная поверхность – поверхность, граничащая с газовой средой – является одной из поверхностей равного давления. Поверхность равного давления относительно Земли представляет собой семейство горизонтальных плоскостей:

, т.е. . (1.5)

В этом случае из массовых сил действует только сила тяжести.

Основное уравнение гидростатики

Необходимо получить уравнение, определяющее давление в любой точке покоящейся жидкости (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Сосуд, заполненный жидкостью

Основное уравнение гидростатики можно получить разными способами:

– используя основное дифференциальное уравнение гидростатики (1.3):

.

В нашем случае действуют только силы тяжести. Поэтому . Следовательно, имеем:

. (1.6)

Запишем граничное условие: при . Проинтегрировав уравнение (1.6), получим:

.

Константа интегрирования определяется из граничного условия . Итак, имеем:

.

Для точки А при получим:

. (1.7)

Полученное уравнение (1.7) называется основным уравнением гидростатики. Давление в точке определяется как сумма давлений
на свободной поверхности и давления, создаваемого столбом жидкости rgh. Величину rgh называют весовым давлением, иногда давление p – абсолютным давлением .

Как видно из формулы (1.7), давление с глубиной погружения меняется линейно. Величина является одинаковой для всей точек объема жидкости. Следовательно, давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково.