Двоичные функции трех аргументов

Из 256 двоичных функций от трех аргументов y_j=F_j(x₁, x₂, х₃) будут рассмотрены только те, которые нашли наиболее широкое применение, их значения приведены в табл. 3.

Таблица 3

Рис. 6 Элементарные автоматы без памяти (двоичные функции трёх (и более) аргументов)

Функция y₂₂ принимает единичное значение тогда и только тогда, когда ровно два входа принимают единичное значение и называется функцией исключительности. Реализуется логическим элементом "2 и только 2" (Рис. 6, а). При наличии n входов выходная переменная функции исключительности принимает единичное значение тогда и только тогда, когда заданное число аргументов k (k=n) имеют единичное значение. Данная функция реализуется логическим элементом "k и только k" (Рис. 6, б).

Функция y₂₃ принимает единичное значение только тогда, когда не менее двух аргументов имеют единичное значение. Функция называется мажоритарной и записывается в виде:

y=x₁х₂Vx₁x₃Vx₂x₃.

Функция реализуется мажоритарным элементом или элементом голосования (Рис. 6, в).

При произвольном числе аргументов n и произвольном пороге r<n функция называется пороговой. Она принимает единичное значение только в том случае, когда не менее любых r аргументов имеют единичное значение и реализуется пороговым элементом (Рис. 6, г). При нечетном n и r=(n+1)/2 пороговая функция превращается в мажоритарную.

Функция y₁₀₄ принимает единичное значение тогда, когда только один из ее аргументов равен 1. Данная функция называется исключающее ИЛИ и реализуется одноименным логическим элементом, УГО которого приведено на Рис. 6, д. Функция может быть от любого конечного числа аргументов (Рис. 6, е). Функция принимает единичное значение тогда и только тогда, когда любой, но только один из ее аргументов принимает единичное значение.

Функция y₁₀₅ принимает единичное значение тогда и только тогда, когда нечетное число аргументов принимает единичное значение и называется функцией нечетности. Ей соответствует операция свертки по модулю два. Функция реализуется элементом свертки (Рис. 6, ж). Выходная переменная элемента свертки является суммой по модулю два значений входных переменных:

где + - сложение по модулю;

2 - значение модуля.

Функция нечетности от n аргументов имеет тот же физический смысл, что и функция нечетности от трех аргументов. При произвольном, но конечном числе аргументов n и произвольном модуле свертки m функция принимает вид:

где m - значение модуля.

Данная функция принимает единичное значение тогда, когда число аргументов, имеющих единичное значение, больше модуля m. Условное графическое обозначение элемента свертки по произвольному модулю m приведено на Рис. 6, з.

В дальнейшем если не указано значение модуля, то будем считать, что оно равно 2.

Функция y₁₅₀ принимает единичное значение тогда и только тогда, когда четное число входов принимает единичное значение или все входы принимают нулевое значение и называется функцией четности (Рис. 6, и) и записывается в следующем виде:

y = .

Функция четности по модулю два от n аргументов имеет тот же физический смысл, что и функция четности от трех аргументов. При произвольном, но конечном числе аргументов n и произвольном модуле свертки m функция четности принимает вид:

y = .

m m m

Данная функция принимает единичное значение тогда, когда значения всех аргументов равны нулю либо любые m аргументов равны единице. УГО логического элемента, реализующего функцию приведено на Рис. 6, к.

Функция y₁₅₁ принимает нулевое значение тогда, когда любой, но только один аргумент из трех принимает единичное значение. Функция называется исключающее ИЛИ-НЕ и реализуется одноименным логическим элементом (Рис. 6, л). При наличии любого конечного числа аргументов функция принимает нулевое значение тогда и только тогда, когда только один из аргументов принимает единичное значение. Функция реализуется логическим элементом, УГО которого приведено на Рис. 6, м. При уменьшении числа входов до двух функции исключающее ИЛИ и исключающее ИЛИ-НЕ совпадают соответственно с функциями неравнозначности и равнозначности.

Некоторые логические элементы реализуют и более сложные логические функции. Для описания функциональной зависимости таких логических элементов используются формулы или условные буквенно-цифровые обозначения (УБЦО). Условное графическое обозначение, описание функциональной зависимости между входными и выходными переменными в виде формулы и УБЦО некоторых логических элементов приведено на Рис. 7.

Рис. 7 Условное графическое и буквенно-цифровое обозначение некоторых логических элементов