Двоичные функции двух аргументов

От двух двоичных аргументов x₁ и x₂ могут быть образованы шестнадцать разных двоичных функций y_j=F_j(x₁,x₂), значения которых приведены в табл. 2. n = 2

Таблица 2

x1

x2

y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

y10

y11

y12

y13

y14

y15

22

N = = 16

Если клетки в каждом столбце правой части табл. 2 рассматривать как разряды двоичного кода с весами от 2⁰ (нижняя клетка) до 2³ (верхняя клетка), то в столбцах оказываются записанными двоичные коды чисел, являющихся индексами у функций.

0. Функция y₀ сохраняет нулевое значение при всех значениях аргументов. Она является константой нуля.

1. Функция y₁ принимает единичное значение тогда и только тогда, когда оба аргумента принимают единичное значение. Такая функция называется конъюнкцией, а операция отыскания ее значения по заданным значениям аргументов называется операцией логического умножения или операцией И. Для обозначения операции логического умножения используется записи следующего вида:

y = x₁ x₂=x₁&x₂=x₁·x₂=x₁x₂

Произносится: y равно x₁ И x₂.

Конъюнкция может быть функцией любого конечного числа аргументов (n³2):

y = x₁x₂x_3…x_n.

Конъюнкция n аргументов принимает единичное значение тогда и только тогда, когда все n аргументов принимают единичное значение.

Операция логического умножения реализуется логическим элементом И, условное графическое обозначение которого приведено на Рис. 5, а..

2. Функция y₂ принимает единичное значение тогда и только тогда, когда x₁=1, а x₂=0. Такая функция двух аргументов называется функцией запрета по x₂ и реализуется с помощью логического элемента запрета, представляющего собой элемент И с одним инверсным входом (Рис. 5, б).

3. Функция y₃ повторяет значения аргумента x₁, является тавтологией x₁ и реализуется повторителем ( Рис. 3, а).

4. Функция y₄ является функцией запрета по x₁ и реализуется с помощью элемента запрета (Рис. 5, в).

Рис. 5 Элементарные автоматы без памяти (двоичные функции двух аргументов)

5. Функция y₅ повторяет значения аргумента x₂, является тавтологией x₂ и реализуется повторителем (Рис. 3, а).

6. Функция y₆ принимает единичные значения тогда и только тогда, когда аргументы имеют разные значения (0 и 1 или 1 и 0). Такая функция называется функцией неравнозначности:

y = x₁¹x₂.

Функция реализуется логическим элементом неравнозначности, УГО которого приведено на Рис. 5, г.

Операция отрицания равнозначности может быть распространена на любое конечное число аргументов (n ³ 2):

y = x₁ ¹ x₂ ¹ … ¹ x_n.

Функция неравнозначности принимает нулевое значение в том и только в том случае, если значения всех ее аргументов одинаковы (все равны 0 или все равны 1).

7. Функция y₇ принимает единичное значение в том случае, если хотя бы один из ее аргументов принимает единичное значение. Такая функция называется дизъюнкцией, а соответствующая ей операция - операцией логического сложения или операцией ИЛИ. Обозначается:

y = x₁Vx₂.

Произносится: y равно x₁ ИЛИ x₂.

Дизъюнкция может быть функцией любого конечного числа аргументов (n ³2):

y = x₁Vx₂V…Vx_n.

Дизъюнкция n аргументов принимает единичное значение, когда хотя бы один аргумент принимает единичное значение. Данная функция реализуется логическим элементом ИЛИ, условное графическое обозначение которого приведено на Рис. 5, д.

8. Функция y₈ принимает единичное значение тогда и только тогда, когда оба аргумента принимают нулевое значение. Такая функция называется функцией Даггера или стрелкой Пирса, а соответствующая ей операция - операцией Пирса или операцией ИЛИ-НЕ. Обозначается:

y =x₁¯x₂ или y = .

Операция ИЛИ-НЕ может быть распространена на любое конечное число аргументов (n ³ 2):

y = .

Функция Даггера принимает единичное значение тогда и только тогда, когда все ее аргументы равны нулю. Функция реализуется логическим элементом ИЛИ-НЕ (Рис. 5, е).

9. Функция y₉ принимает единичное значение в том случае, если оба ее аргумента принимают одинаковые значения (00 или 11) Такая функция называется эквиваленцией, а соответствующая ей операция - операцией равнозначности. Обозначается:

y = x₁ = x₂.

Произносится: y равно x₁ равнозначно x₂.

Операция равнозначности может быть распространена на любое конечное число аргументов (n ³ 2):

y = x₁ = x₂ = ... = x_n.

Функция эквиваленция принимает единичное значение только при нулевых значениях или только при единичных значениях всех ее аргументов. Функция реализуется логическим элементом равнозначности (Рис. 5, ж).

10. Функция y₁₀ принимает значения, противоположные значениям аргумента x₂, и является инверсией аргумента x₂. Реализуется логическим элементом НЕ (Рис. 3, б).

11. Функция y₁₁ принимает значение тогда и только тогда, когда аргументы x₁ принимает нулевое значение, а аргумент x₂ - единичное значение. Такая функция называется импликацией из x₂, а соответствующая ей операция - операцией следования из x₂. Обозначается:

y = x₂ ® x₁.

Функция реализуется логическим элементом - импликатором (Рис. 5, з).

12. Функция y₁₂ принимает значения, противоположные значениям ее аргумента x₁, и является инверсией аргумента x1 (y₁₂= ₁.). Реализуется элементом НЕ (Рис. 3, б).

13. Функция y₁₃ является импликацией из x₁. Обозначается: y = x₁®x₂ и реализуется логически элементом, условное графическое обозначение которого приведено на Рис. 5, и.

14. Функция y₁₄ принимает нулевое значение тогда и только тогда, когда оба ее аргумента принимают единичное значение. Такая функция называется функцией Шеффера или операцией И-НЕ. Обозначается:

y = x₁/x₂ или y = .

Операция может быть распространена на любое конечное число аргументов (n³2):

y = .

Функция Шеффера принимает нулевое значение тогда и только тогда, когда все ее аргументы принимают единичное значение. Реализуется данная функция логическим элементом И-НЕ (Рис. 5, к).

15. Функция y₁₅ сохраняет единичное значение при всех наборах значений аргументов и является константой единицы.