Линейные системы дифференциальных уравнений – общая теория

Наибольший интерес в силу обширности приложений представляют линейные системы дифференциальных уравнений, т.е. системы вида

(5)

где – заданные функции, .

Если , для всех , то такая линейная система дифференциальных уравнений

(6)

называется однородной. В противном случае система (5) называется неоднородной.

Если все коэффициенты – действительные числа, то систему (5) (или (6)) называют линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теория линейных систем дифференциальных уравнений (свойства их решений, структура общего решения и специальные методы интегрирования) аналогична теории линейных дифференциальных уравнений. Ограничимся рассмотрением линейных систем с постоянными коэффициентами.

Пусть дана однородная линейная система дифференциальных уравнений (6) с постоянными коэффициентами. Два частных решения и этой системы называются линейно независимыми в интервале , если определитель

*)

для всех .

Фундаментальной системой решений (ФСР) системы линейных однородных дифференциальных уравнений называется совокупность двух линейно независимых решений { , } этой системы. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2

Если система частных решений является фундаментальной, то общее решение системы (4.6) имеет вид

где – произвольные постоянные.