Система уравнений радиационного теплообмена при заданных температурах газа и поверхностей

В основе расчета лежат соотношения:

(18.10)

.

(18.11)

Начнем с взаимодействия фиксированной i - поверхности с какой-либо j - поверхностью. Все излучение j - поверхности есть

, Вт.

На i - поверхность отправляется часть этого излучения, определяемая угловым коэффициентом j - поверхности на i - поверхность:

, Вт,

но доходит только , Вт,

где D_Г - коэффициент пропускания газа: D_Г = 1 - А_Г. Здесь мы учли эффект частичного поглощения радиационного потока от стенок в газовой среде, разделяющей поверхности.

Плотность потока падающего излучения от одной j - поверхности составит:

, Вт/м2,

или, с учетом свойства взаимности ( ),

.

Теперь необходимо просуммировать плотности падающего излучения от всех j - поверхностей (j=1 .. N ) и добавить излучение газового объема Е_Г:

,

где .

Следовательно, для каждой i - поверхности в соответствии с формулой (6.70) можно записать уравнение:

,

(18.12)

согласно которому эффективное излучение i - поверхности складывается из собственного и отраженного излучения этой поверхности, причем последнее есть - доля от падающего излучения, обусловленного, во-первых, излучением газа и, во-вторых, эффективным излучением всех j - поверхностей, ослабленным поглощением в газовой среде.

Мы получили систему линейных уравнений относительно эффективных потоков излучения, которую можно решить, например, методом исключения Гаусса.

После того как величины определены для всех поверхностей, рассчитывают плотности результирующего поток излучения, которые определяются в соответствии с формулой (6.71) как разности эффективного и падающего излучения:

.

(18.13)

В принципе, задача решена. Полезно представить систему уравнений (6.72) и соотношение для последующего расчета результирующих потоков (6.73) в матричной форме, удобной для вычислений на компьютере.

Используя для отдельно стоящей величины в уравнениях (18.12) и (18.13) тождество

,

где - символ Кронекера, и приводя подобные члены, получим:

(18.14)

.

(18.15)

Эквивалентная матричная запись выглядит следующим образом:

,

(18.16)

.

(18.17)

Элементы матриц и вектора правой части рассчитываются по формулам:

; ; ; ; .

Коэффициент отражения для серых поверхностей вычисляется как .

Степень черноты газа рассчитывают в соответствии с рекомендациями предыдущего раздела, например, по формуле (6.68).

Коэффициент пропускания газа, согласно определению, есть: D_Г = 1 - А_Г, где А_Г - коэффициент поглощения газа.