Магнитное поле соленоида (упрощённая модель).

Соленоид как электротехническое устройство в простейшем случае представляет собой обмотку тонким проводником некоторой каркасной конструкции конечной протяженности и заданного поперечного сечения. Основными параметрами конструкции соленоида являются контур поперечного сечения каркаса, погонная плотность навивки проводника (число витков на единицу длины) и длина соленоида. В принципе возможно изменение конфигурации контура и погонной плотности навивки вдоль продольной оси соленоида. Ниже для простоты будем рассматривать соленоид с поперечным сечением каркаса в форме окружности. Предположим, что навивка выполнена с малым шагом, при этом сложную в параметризации пространственную кривую представим как совокупность отдельных окружностей, число которых на единицу длины соленоида совпадает с числом витков проводника на единицу длины соленоида. Плоскости рассматриваемых окружностей перпендикулярны продольной оси соленоида, а центры окружностей лежат на продольной оси соленоида.

Допустим, что продольная ось соленоида совпадает с осью аппликат, начальное сечение соленоида описывается координатой , а конечное – координатой . Текущее поперечное сечение соленоида описывается координатой . В окрестности сечения выделим элементарный интервал и будем считать известными «число витков» между поперечными сечениями соленоида, ограничивающими этот интервал, и радиус окружности , по которой течет ток . Предположение о том, что параметры соленоида зависят от продольной координаты, позволяет рассматривать более сложные конструкции и продемонстрировать возможности метода. В частности, зависимость позволяет рассматривать соленоид с разветвлением тока.

В соответствии с общей методикой выполнения расчёта положение точки наблюдения М задаём радиус-вектором

(1)

в качестве элемента контура с током рассматриваем совокупность окружностей, плоскости которых пересекают ось аппликат в интервале :

(2)

(3)

(4)

Соотношением (4) учитываем, что на интервале ток не один раз обтекает «контур». Угол отсчитывается от оси абсцисс в сторону оси ординат, предполагается, что ток течёт в этом направлении. Аналогично тому, как это сделано в предыдущем разделе, записываем координатное представление разности радиус-векторов точки наблюдения и точки расположения элемента контура с током, проекции вектора , проекции векторного произведения этого вектора на разность радиус-векторов, выписываем координатное представление модуля разности радиус-векторов и получаем выражения для дифференциалов проекций вектора магнитной индукции в точке наблюдения:

(5)

(6)

(7)

В соответствии с принципом суперпозиции (соотношение(3) раздела 6.2) необходимо просуммировать вклад в каждую компоненту вектора магнитной индукции в точке наблюдения всех образующих магнитное поле элементов «контура с током». Для этого достаточно дважды проинтегрировать выражения (5), (6) и (7) по переменной в пределах от до и по переменной в пределах от до . Выпишем эти квадратуры:

, (8)

, (9)

. (10)

С помощью современного математического обеспечения персональных компьютеров несложно вычислить полученные квадратуры для произвольного (фиксированного, заданного в числовом выражении) расположения точки наблюдения M.

Ниже рассмотрим простейший случай: точка наблюдения лежит на продольной оси соленоида с постоянным поперечным сечением ( , с постоянным параметром навивки и постоянным током . В рассматриваемом случае знаменатели подынтегральных выражений квадратур (8)-(10) не зависят от переменной , что позволяет выполнить первое интегрирование:

. (11)

Вычисление выражения (11) производится с помощью замены переменной интегрирования и приводит к зависимости

(12)

Легко видеть, что для соленоида бесконечной длины выполняются соотношения:

, если - конечное, , , (13)

, если и - конечные, . (14)

Характер зависимости (12) иллюстрирует кривая B(z) на рис. 2.

Следует заметить, что зона приблизительной однородности магнитного поля на оси соленоида тем больше, чем длиннее соленоид.

В заключение заметим, что рассмотренная модель соленоида позволяет рассчитать параметры магнитного поля в произвольной точке пространства и отследить неоднородность магнитного поля, как по поперечному сечению соленоида, так и вдоль любой прямой линии, параллельной оси соленоида. При исследовании неоднородности магнитного поля вдоль оси соленоида рассматриваемая модель не учитывает дискретности витков соленоида и спиральный характер навивки тонкого провода.