Индукция магнитного поля, образованного плоским тонким круговым контуром с током, в произвольной точке пространства.

Пусть по тонкому плоскому круговому кольцу, расположенному в плоскости z=0, с центром в начале координат x = 0, y = 0 течёт ток . Пусть радиус проводящего кольца равен . Пусть точка наблюдения М вектора магнитной индукции определена радиус-вектором с компонентами .

Компоненты радиус-вектора расположения элемента контура с током удобно описать параметрически:

, где - угол между направлением на рассматриваемый элемент и положительным направлением оси абсцисс. Допустим, что электрический ток течёт вдоль контура против часовой стрелки, если учесть положительное направление оси аппликат. В этом случае вектор имеет следующие составляющие:

. (1)

Разность радиус-векторов точки наблюдения и точки расположения элемента контура с током описывается выражением:

. (2)

Модуль выражения (2) имеет вид:

. (3)

Векторное произведение в числителе выражения (1) раздела 6.2 принимает форму:

(4)

Запишем координатную форму соотношения (1)раздела 6.2 для рассматриваемого случая:

(5)

(6)

(7)

В соответствии с принципом суперпозиции (3) раздела 6.2 для расчёта компонент вектора магнитной индукции в точке наблюдения необходимо проинтегрировать выражения (5)-(7) по переменной в пределах от 0 до :

(8)

(9)

, (10)

В выражениях (8)-(10) произвольные значения координат точки наблюдения x,y,z играют роль параметров.

Наиболее простые и наглядные результаты получаются для точки наблюдения, расположенной на оси аппликат (x = 0, y = 0, z - произвольное значение):

. (11)

В центре проводящего кругового кольца проекция вектора магнитной индукции на ось аппликат принимает значение:

(12)

Эти результаты были получены выше (соотношения (3)-(4) предыдущего раздела) при рассмотрении частного случая задачи.

Введём в рассмотрение безразмерный (относительный) вектор С помощью выражений (8)-(10) рассчитаем проекции вектора в некоторых характерных точках пространства. Так для точки наблюдения с декартовыми координатами { } получаем результаты: b_x = 0.0496, b_y = 0.0496, b_z = 0.0212. Для точки наблюдения «повыше» (координаты { }) соответственно получаем: b_x = 6.972×10^-5, b_y =6.972×10^-5 , b_z = 4.647×10^-4. Компоненты уменьшились по величине, появились проекции на оси абсцисс и ординат.

Если воспользоваться тем, что рассматриваемая система токов обладает осевой симметрией, можно систему координат расположить специальным образом: пусть точка наблюдения M расположена в плоскости y=0. С помощью компьютерной системы символьных вычислений Mapleможно получить аналитические зависимости для расчёта выражений (8)-(10) как функций координат x и z:

,

, (13)

, .

В соотношениях (13) и - полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.

С помощью полученных выражений несложно рассчитать составляющие вектора магнитной индукции при переходе в произвольную систему координат. На рис. 2 показаны результаты расчета горизонтальной и вертикальной составляющих вектора магнитной индукции кругового кольца с током в зависимости от вертикальной координаты точки наблюдения (горизонтальная координата точки наблюдения была фиксирована).

На рис. 3 приведены аналогичные результаты расчетов составляющих вектора магнитной индукции поля кругового кольца с током в зависимости от горизонтальной координаты х (вертикальная координата точки наблюдения фиксирована).