Консервативные силы

В природе существуют силы, скажем сила тяжести, обла­дающие замечательным свойством — «консервативностью» (ни­каких политических идей, ничего двусмысленного в этом поня­тии нет). Когда мы подсчитываем, какую работу выполняет сила, двигая тело от одной точки к другой, то вообще работа зависит от траектории; но в особых случаях эта зависи­мость пропадает. Если работа не зависит от траектории, мы говорим, что сила консервативна. Иными словами, если ин­теграл от произведения силы на приращения смещений между точками 1 и 2 (фиг. 14.2) один раз вычислен вдоль кривой А, а другой — вдоль кривой В, и оба раза получается одинаковое количество джоулей, и если это выполнено для любой кривой, соединяющей эту пару точек, и если это же справедливо для любой пары точек, то говорят, что сила консервативна. В таких обстоятельствах интеграл работы между точками 1 и 2 можно легко подсчитать и дать для него формулу. А в других случаях это не так просто: нужно задавать еще форму кривой; но когда работа не зависит от кривой, то, ясное дело, остается только зависимость от положений точек 1 и 2.

Чтобы доказать это, рассмотрим фиг. 14.2.

Фиг. 14.2. Возможные пути, соединяющие две точки в поле сил.

Фиксируем про­извольную точку Р. Криволинейный интеграл работы на участ­ке (1,2) можно вычислить, разбив его на две части: работу на участке (1, Р) и работу на участке (Р, 2), потому что сейчас у нас всюду консервативные силы, и по какому пути ни пойти, значение работы одно и то же. Работа перемещения из точки Р в любую точку пространства является функцией положения конечной точки. Она зависит и от Р, но мы во всем дальнейшем анализе точку Р закрепим, так что работа перемещения тела от точки Р к точке 2 будет некоторой функцией положения точ­ки 2. Она зависит от того, где находится точка 2; если перемес­тить тело в другую точку, ответ будет другой.

Обозначим эту функцию положения через -U(x, у, z); же­лая отметить, что речь идет именно о точке 2 с координатами x₂, y₂, z₂, мы будем просто писать U(2), сокращая обозначение U(х_г, у₂, z₂). Работу перемещения из точки 1 в точку Р можно написать, обратив направление интегрирования (переменив знаки всех ds). Другими словами, работа на участке (1,Р) равна работе на участке (P,1) со знаком минус:

Значит, работа на участке (Р,1) есть -U(1), а на участке (Р,2) есть -U(2). Поэтому интеграл от 1 до 2 равен -U(2) плюс [-U1) назад], т. е. + U(1)-U(2):

Величина U(1)-U(2) называется изменением потенциальной энергии, a U можно назвать потенциальной энергией. Мы бу­дем говорит, что когда предмет находится в положении 2, то он обладает потенциальной энергией U(2), а в положении 1 — потенциальной энергией U(1). Когда он находится в по­ложении Р, его потенциальная энергия равна нулю. Если бы вместо Р взять любую другую точку Q, то оказалось бы (это предоставляется доказать вам самим), что потенциальная энер­гия всех точек изменилась бы только на постоянную добавку. Так как сохранение энергии зависит только от изменений ее, то эта добавочная постоянная никакого значения не имеет. Вот поэтому точка Р произвольна.

Итак, у нас имеются два утверждения: 1) работа, выполняе­мая силой, равна изменению кинетической энергии системы, но 2) математически для консервативных сил выполненная ра­бота равна минус изменению функции U, называемой потен­циальной энергией. Как следствие этих утверждений возникает еще одно: если действуют только консервативные силы, сумма потенциальной U и кинетической Т энергий остается постоян­ной:

T+U=const. (14.2)

Рассмотрим формулу потенциальной энергии для ряда слу­чаев. Если поле тяготения однородно, если мы не поднимаемся до высот, сравнимых с радиусом Земли, то сила постоянна и направлена вертикально, а работа равна просто произведению силы на расстояние по вертикали. Стало быть,

U(z)=mgz, (14.3)

и за точку Р с нулевой потенциальной энергией можно принять любую точку на поверхности z=0. Но можно также говорить, что потенциальная энергия равна mg(z-6), если нам так уж этого хочется! Все результаты в нашем анализе останутся теми же, кроме того что потенциальная энергия на поверхности z=0 будет равна -mg6. Разницы никакой, ведь в расчет надо принимать только разности потенциальных энергий.

Энергия, необходимая для сжатия пружины на расстояние х от точки равновесия, равна

U(x)=¹/₂kx² (14.4)

и нуль потенциальной энергии приходится на точку х=0, т. е. на равновесное состояние пружины. И здесь тоже мы можем до­бавить любую константу.

Потенциальная энергия тяготения точечных масс Mи m на расстоянии rдруг от друга равна

U(r)=-GMm/r. (14.5)

Константа здесь выбрана так, чтобы потенциал исчезал на бесконечности. Конечно, эту же формулу можно применить и к электрическим зарядам, поскольку закон один и тот же:

U(r)=q₁q₂/4pe₀r. (14.6)

Давайте теперь поработаем с одной из этих формул, по­смотрим, поняли ли мы их смысл.

Вопрос: С какой скоростью должна отправиться ракета с Земли, чтобы покинуть ее?

Ответ: Сумма кинетической и потенциальной энергий должна быть постоянной; покинуть Землю — значит удалиться от нее на миллионы километров; если у ракеты только-только хватает сил, чтобы покинуть Землю, то надо предположить, что там, вдалеке, ее скорость будет равна нулю и что на бесконечности она будет едва-едва двигаться. Пусть а — радиус Земли, а M— ее масса. Кинетическая плюс потенциальная энергии первона­чально были равны ^l/₂ mv² -GmM/a. В конце движения эти обе энергии должны сравняться. Кинетическую энергию в конце движения мы считаем нулевой, потому что тело еле движется (почти с нулевой скоростью), а потенциальная энергия равна величине GmM, деленной на бесконечность, т. е. опять нулевая. Значит, с одной стороны стоит разность двух нулей; поэтому квадрат скорости должен быть равен 2GM/a. Но GM/a² это как раз то, что называют ускорением силы тяжести g. Итак,

v²=2ga.

С какой скоростью должен двигаться искусственный спут­ник, чтобы не падать на Землю? Мы когда-то решали эту зада­чу и получили v²=GM/a. Значит, чтобы покинуть Землю, нужна скорость, в Ö2 большая, чем скорость вращения спутника вокруг Земли. Иными словами, чтобы улететь с Земли, нужно вдвое больше энергии (энергия пропорциональна квадрату ско­рости), чем чтобы облететь вокруг нее. Поэтому исторически сначала были совершены облеты искусственных спутников вокруг Земли, для чего понадобились скорости около 7,8 км/сек. И только потом космические корабли были заброшены в миро­вое пространство; для этого потребовалось уже вдвое больше энергии, т. е. скорости около 11,2 км/сек.

Продолжим теперь наш обзор характеристик потенциальной энергии. Давайте рассмотрим взаимодействие двух молекул или двух атомов, например двух атомов кислорода. Когда они находятся далеко друг от друга, они притягиваются с силой, обратно пропорциональной седьмой степени расстояния, а при тесном сближении они сильно отталкиваются. Проинтегри­ровав минус седьмую степень расстояния, чтобы получить ра­боту, мы увидим, что потенциальная энергия U (функция рас­стояния между атомами кислорода) изменяется как минус шес­тая степень расстояния (на больших расстояниях).

Если мы чертим некую кривую потенциальной энергии U(r) (фиг. 14.3), то при больших r она выглядит как r^-6, а при до­статочно малых r достигает минимума.

Фиг. 14.3. Потенциальная энер­гия взаимодействия двух атомов как функция расстояния между ними.

Минимум потенциальной энергии в точке r=d означает, что если мы сдвинемся от нее на малое расстояние, на очень малое расстояние, то произве­денная работа, равная изменению потенциальной энергии на этом промежутке, почти равна нулю, потому что на донышке кривой энергия почти не меняется. Значит, в этой точке сила равна нулю, и это есть точка равновесия. Условие равновесия можно высказать и иначе: для удаления из точки равновесия в любую сторону нужно затратить работу. Когда два атома кислорода расположены так, что никакой энергии из их силы взаимодейст­вия больше выжать нельзя, то они находятся в наинизшем энер­гетическом состоянии и промежуток между ними равен d. Так выглядит молекула кислорода, когда она не нагрета. При нагре­вании атомы колеблются и расходятся; их можно и совсем раз­вести, но для этого нужно определенное количество работы или энергии, равное разности потенциальных энергий в точках r=d и r=¥. При попытке сблизить атомы энергия быстро воз­растает вследствие их взаимного отталкивания.

Почему мы говорим о потенциальной энергии? Потому что идея силы не очень пригодна для квантовой механики, там более естественна идея энергии. Когда мы рассматриваем более сложные взаимодействия: ядерного вещества, молекул и т. д., то, хотя понятия силы и скорости «рассасываются» и исчезают, оказывается, что понятие энергии все же остается. Поэтому в книгах по квантовой механике мы находим кривые потенциаль­ной энергии, но очень редко увидим график силы взаимодей­ствия двух молекул, потому что те, кто изучает эти явления, больше уже привыкли думать об энергии, чем о силе.

Заметим еще, что, когда на тело одновременно действуют несколько консервативных сил, потенциальная энергия тела есть сумма потенциальных энергий от каждой силы. Это то, что мы утверждали и раньше, потому что, когда сила представляется векторной суммой сил, работа, производимая ею, равна сумме работ, производимых отдельными силами; поэтому ее можно представить как изменения потенциальных энергий от каждой силы по отдельности. Значит, общая потенциальная энергия равна сумме всех частей.

Мы можем обобщить это на случай системы многих тел, как, например, Юпитера, Сатурна, Урана и т. д. или атомов кислоро­да, азота, углерода и т. д., взаимодействующих друг с другом попарно, причем силы взаимодействия каждой пары консерва­тивны. В таких условиях кинетическая энергия всей системы есть просто сумма кинетических энергий всех отдельных атомов, или планет, или частиц, а потенциальная энергия системы есть сумма потенциальных энергий взаимодействия отдельных пар, рассчитанных в предположении, что других частиц нет. (На самом деле для молекулярных сил это неверно, и формула полу­чается несколько сложнее; для ньютонова тяготения это опре­деленно справедливо, а для молекулярных сил годится лишь как приближение. Можно, конечно, говорить о потенциальной энергии молекулярных сил, но она иногда оказывается более сложной функцией положений атомов, чем простая сумма по­парных взаимодействий.) Поэтому потенциальная энергия в частном случае тяготения представляется суммой по всем парам i и j членов — Gm_im_j/r_ij [как было показано в уравнении (13.14)]. Уравнение (13.14) выражает математически следующее предложение: общая потенциальная плюс общая кинетическая энергии не меняются со временем. Пусть себе различные планеты вращаются, обращаются и покачиваются, все равно если под­считать общую потенциальную и общую кинетическую энергии, то окажется, что их сумма всегда остается постоянной.