Неконсервативные силы

Мы потратили немало времени, обсуждая свойства консер­вативных сил. Что же мы теперь скажем о неконсервативных силах? Мы хотим разобраться в этом вопросе более подробно, чем это обыкновенно делают, и показать, что неконсервативных сил не бывает! Оказывается, все основные силы природы, по-видимому, консервативны. Не подумайте, что это следствие из законов Ньютона. На самом деле, насколько представлял себе это сам Ньютон, силы могут быть неконсервативными, как, например, трение, которое кажется неконсервативным. Упот­ребляя слово «кажется», мы проводим современную точку зре­ния, которая доказывает, что все глубинные силы, все силы взаи­модействия между частицами на самом фундаментальном уровне суть силы консервативные.

Когда мы, например, анализируем систему наподобие боль­шого шарового звездного скопления (фотографию такого скоп­ления мы показывали) с тысячами взаимодействующих звезд, то формула для общей потенциальной энергии состоит просто из суммы слагаемых, каждое из которых выражает взаимодействие какой-то пары звезд; точно так же и кинетическая энергия есть сумма кинетических энергий всех отдельных звезд. Но шаровое скопление как целое движется и в пространстве, и окажись мы от него так далеко, что не смогли бы различать от­дельных деталей, мы бы приняли его за единый предмет. Если бы при этом к нему были приложены какие-то силы, то часть из них могла бы двигать его как целое и мы бы увидели, как центр этого тела движется. С другой стороны, прочие силы могли бы, если так можно выразиться, «тратиться» на повышение по­тенциальной или кинетической энергии «частиц» внутри «тела». Положим, например, что действие этих сил привело бы к расши­рению всего скопления и увеличению скоростей «частиц». Общая энергия «тела» на самом деле сохранялась бы. Но, глядя издалека нашими слабыми глазами, не различающими беспоря­дочных внутренних движений, мы бы видели только кинети­ческую энергию всего тела и нам бы казалось, что энергия не сохраняется, хотя все дело было бы в том, что мы не различаем деталей. Оказывается, что это всегда так: общая энергия Вселенной, кинетическая плюс потенциальная, если как следует посмотреть, всегда постоянна.

Изучая тончайшие свойства вещества на атомном уровне, не всегда легко разделить общую энергию на две части, потен­циальную и кинетическую, и не всегда такое разделение необ­ходимо. Во всяком случае, оно возможно почти всегда, так что давайте говорить, что оно всегда возможно и что потенциальная плюс кинетическая энергии мира постоянны. Итак, общая по­тенциальная плюс кинетическая энергии внутри целого мира постоянны, и если «мир» — это изолированный кусок вещества, то энергия его постоянна, если только нет внешних сил. Но, как мы видели, часть кинетической и потенциальной энергий предмета может быть внутренней (например, внутренние молекулярные движения), внутренней в том смысле, что мы ее не замечаем. Мы знаем, что в стакане воды все колеблется, все части беспрерывно движутся, так что внутри имеется определенная кинетическая энергия, на которую мы обычно никакого внимания не обраща­ем. Мы не замечаем движения атомов, рождающего теплоту, и поэтому не называем его кинетической энергией, но основа тепла — все-таки кинетическая энергия. Точно так же и внутрен­няя потенциальная энергия может, например, иметь форму химической энергии: когда мы сжигаем бензин, выделяется энер­гия, потому что потенциальные энергии атомов при новом их размещении оказываются ниже, чем при прежнем расположе­нии. Строго говоря, теплоту нельзя считать чисто кинетической энергией, в нее входит и часть потенциальной энергии; то же относится и к химической энергии, так что лучше объединить их и говорить, что общая кинетическая и потенциальная энергии внутри тела — это частично тепло, частично химическая энер­гия и т. д. Во всяком случае, все эти различные формы внутрен­ней энергии иногда рассматривают как «потерянную» энергию в том смысле, как сказано выше; когда мы изучим термодинами­ку, нам все это станет яснее.

В качестве другого примера возьмем трение. Неверно, что кинетическая энергия в результате трения исчезает; это не­верно, хотя скользящее тело и впрямь останавливается и кажется, что кинетическая энергия пропала. Но она не про­падает, ибо атомы внутри тела начинают двигаться с большим запасом кинетической энергии; хоть мы этого и не можем уви­деть, но можно догадаться об этом по повышению температуры. Конечно, если не обращать внимания на тепловую энергию, то теорема о сохранении энергии покажется неправильной.

Еще в одном случае может показаться, что энергия не сохраняется: когда мы изучаем часть всей системы. Вполне естественно, что если что-то взаимодействует с чем-то внешним и мы пренебрегаем этим взаимодействием, то теорема о сохра­нении энергии будет выглядеть неверной.

В классической физике в потенциальную энергию включались только тяготение и электричество, но теперь у нас есть и атом­ная энергия и многое другое. В классической теории, например, свет — это особая форма энергии, но можно, если нам этого хочется, представить себе энергию света как кинетическую энергию фотонов, и тогда наша формула (14.2) опять окажется справедливой.

Потенциалы и поля

Теперь обратимся к некоторым идеям, связанным с потен­циальной энергией и с понятием поля. Пусть два больших тела А и В притягивают к себе третье малое тело с суммарной силой F. Мы уже отмечали в гл. 12, что сила притяжения частицы может быть представлена как произведение ее массы mна век­тор С, зависящий лишь от положения частицы:

F = mC.

Тяготение можно анализировать, считая, что в каждом месте пространства имеется вектор С, который «действует» на массу, помещенную в это место, но который присутствует там безот­носительно к тому, поместили ли мы туда массу или нет. Вектор С имеет три составляющие, и каждая из них является функцией от (х, y, z) — функцией положения в пространстве. Такую вещь мы называем полем и говорим, что тела А и В создают поле, т. е. «делают» вектор С. Когда тело помещено в поле, то сила дей­ствия на это тело равна его массе, умноженной на величину вектора поля в той точке, куда тело попало.

С потенциальной энергией можно сделать то же самое. Так как потенциальная энергия, интеграл от (Сила)•(ds), может быть записана в виде массы m, умноженной на интеграл от (Поле)•(ds) — это простое изменение масштаба, — то потен­циальную энергию U(x, у, z) тела, расположенного в точке (х, у, z), можно записать как произведение mна другую функ­цию. Назовем ее потенциалом y.. Интеграл ∫C•ds равен

-y, подобно тому как ∫F•ds=-U; они отличаются только

масштабом:

U= -∫F•ds=-m∫C•ds=my. (14.7)

Зная в каждой точке пространства эту функцию y (х, y, z), можно немедленно вычислить потенциальную энергию тела в любой точке, а именно U(x, у, z) — my (х, у, z). Теперь, как видите, это стало делом пустяковым. Но на самом деле это от­нюдь не пустяк, потому что иногда намного приятнее описать поле, задав распределение потенциала во всем пространстве, чем задавать С. Вместо трех сложных компонент векторной функции проще задать скалярную функцию y. Кроме того, когда поле создается многими массами, величину y рассчиты­вать легче, чем три компоненты С: потенциалы—скаляры, их можно просто складывать, не заботясь о направлениях сил. А поле С, как мы сейчас увидим, легко восстановить, зная y. Пусть у нас есть точечные массы m₁, m₂,... в точках 1, 2..., и мы хотим знать потенциал yв некоторой произвольной точке Р. Тогда он оказывается простой суммой потенциалов отдельных масс в точке Р:

Этой формулой, представляющей потенциал в виде суммы потенциалов отдельных масс, мы пользовались в предыдущей главе, чтобы вычислить потенциал сферического слоя (мы тогда сложили потенциалы всех поясков, на какие был нарезан слой). Итог расчета показан на фиг. 14.4.

Фиг. 14.4. Потенциал тяготею­щего сферического слоя радиусом а.

Потенциал отрицателен, ра­вен нулю на бесконечности, падает как 1/r, пока r не станет рав­ным а, и затем внутри слоя становится постоянным. Вне слоя потенциал равен —Gm/r (т— масса слоя), что полностью сов­падает с потенциалом точки с массой т, помещенной в центре сферического слоя. Но такое совпадение существует только для точек снаружи слоя, а во внутренних точках потенциал оказывается равным —Gm/a и больше не меняется! А когда потенциал постоянен, то поля нет: если потенциальная энергия не меняется, то сила отсутствует, потому что, когда мы дви­гаем тело из одной внутренней точки в другую, работа, выполняе­мая силой, в точности равна нулю. Почему? Да потому, что ра­бота передвижения тела из одной точки в другую равна минус изменению потенциальной энергии (или соответствующий ин­теграл от поля равен изменению потенциала). Но потенциальная энергия в обеих точках одинакова, значит, ее изменение равно нулю, и поэтому никакой работы при любых движениях внутри сферического слоя не производится. А это возможно лишь тогда, когда внутри слоя нет никаких сил.

В этих рассуждениях кроется ключ к вычислению силы или напряженности поля, когда потенциальная энергия известна.

Пусть потенциальная энергия тела в точке (х, у, z) дана, а мы хотим узнать, какая сила действует на него в этой точке. Для этого нужно знать потенциал не только в этой точке, но и в соседних. Почему? Попробуем вычислить x-компоненту силы (если мы это сумеем сделать, то точно таким же способом мы вычислим и у- и z-компоненты, определив тем самым всю силу). Если б мы сдвинули тело на малое расстояние Dx, то работа, произведенная силой над телом, равнялась бы x-компоненте силы, умноженной на Dx (если Dx достаточно мало), и должна была бы быть равна изменению потенциальной энергии при переходе от одной точки к другой:

DW=-DU=F_xDx. (14.9)

Мы просто применили формулу ∫F•ds=-DU для очень

малых расстояний. Теперь разделим на Dx и обнаружим, что сила равна

F_x=-Du/Dx. (14.10)

Конечно, это не совсем точно. На самом деле нам нужно перейти в (14.10) к пределу при Dx, стремящемся к нулю, потому что (14.10) точно соблюдается только для бесконечно малых Dx. Мы узнаем в правой части (14.10) производную U по х и хотим написать -dUldx. Но U зависит и от х, и от у, и от z, и для такого случая математики придумали другое обозначение, которое рас­считано на то, чтобы напоминать нам, что надо быть очень ос­торожным, дифференцируя такую функцию. Этот символ напо­минает, что только х считается изменяющимся, а у и z — нет. Вместо d они просто пишут «6 навыворот», или д. (По-моему, когда начинаешь изучать дифференциальные исчисления, то вообще лучше работать с д, а не с d; d всегда хочется сократить, а вот на д как-то рука не поднимается!) Итак, они пишут dU/dx, а иногда в припадке строгости, желая быть очень бдительными, они ставят за дх скобку с маленькими у, z внизу (dU/dx)_yz, что означает: «Продифференцируй U по х, считая у и z по­стоянными». Но мы чаще всего не будем отмечать, что осталось постоянным, из контекста это всегда можно понять. Но зато всегда будем писать д вместо d как предупреждение о том, что эта производная берется при постоянных значениях прочих переменных. Ее называют частной производной, т. е. производ­ной, для вычисления которой меняют часть переменных, х.

Итак, мы обнаруживаем, что сила в направлении х равна минус частной производной U по х:

F_x=-дU/дx (14.11)

Точно так же и сила в направлении у получается дифференци­рованием U по у при постоянных х и z, а третья составляющая силы опять-таки есть производная по z при х и у постоянных:

В этом и состоит способ получать силу из потенциальной энер­гии. Поле получается из потенциала в точности так же:

Заметим, кстати, что существует и другое обозначение (впро­чем, пока оно нам не понадобится). Так как С есть вектор с компонентами х, у, z, то символы д/дх, д/ду, d/dz, дающие х-, у-, z-компоненты поля, чем-то напоминают векторы. Матема­тики изобрели знаменитый символ Ñ, или grad, называемый «градиентом»; это не величина, а оператор, он делает из скаляра вектор. У него есть три составляющие: x-компонента этого grad есть д/дх, y-компонента — д/ду, а z-компонента— d/dz, и мы можем позабавиться, переписав наши формулы в виде

Глядя на Ñ; мы мгновенно узнаем, что наши уравнения вектор­ные; но на самом деле уравнение (14.14) означает в точности то же, что и (14.11) и (14.12); просто это другой способ записи. Не желая писать каждый раз три уравнения, мы пишем одно лишь ÑU.

Еще один пример полей и потенциалов связан с электри­чеством. В этом случае сила, действующая на неподвижное тело, равна заряду, умноженному на поле: F = qЕ. (В x-составляющую силы входят, вообще говоря, и члены, которые зависят от маг­нитного поля. Но из уравнения (12.10) легко увидеть, что сила, действующая на частицу со стороны магнитных полей, всегда направлена поперек поля и поперек ее скорости. Благодаря этому свойству магнетизм не производит никакой работы над движущимся зарядом, потому что сила перпендикулярна пере­мещению. Значит, вычисляя кинетическую энергию в электри­ческом и магнитном полях, можно пренебречь вкладом магнит­ного поля, так как оно не изменяет кинетической энергии.) По­ложим, что имеется только электрическое поле. Тогда мы можем рассчитать энергию или произведенную работу точно таким же способом, как и для тяготения: вычислить величину j, равную минус интегралу от Е•ds от произвольной фиксированной точки Р до точки, в которой вычисляется потенциал; тогда потенци­альная энергия в электрическом поле равна просто произведе­нию заряда на эту величину j:

j(r) = -E•ds,

U=qj.

В качестве примера рассмотрим две параллельные метал­лические пластины с поверхностным зарядом ±s (на единицу площади) каждая. Такая штука называется плоским конден­сатором. Мы уж убедились раньше, что снаружи пластин сила равна нулю, а между ними существует постоянное электрическое поле. Оно направлено от плюса к минусу и равно s/e₀ (фиг. 14.5).

Фиг. 14.5. Поле между параллель­ными пластинами.

Мы хотим знать, какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд от одной пластины к другой. Работа равна интегралу от (Сила.)•(ds). Его можно записать как произведение заряда на значение потенциала на пластине 1 минус та же величина на пластине 2:

W=∫F•ds= q(j₁-j₂).

Интеграл здесь легко вычислить, так как сила постоянна, и если обозначить толщину конденсатора d, то интеграл равен

Разница в потенциалах Dj= sd/e₀ называется напряжением и j измеряют в вольтах. Когда мы говорим, что пара пластин заряжена до определенного напряжения, мы хотим этим сказать, что разность электрических потенциалов двух пластин равна стольким-то вольтам. У конденсатора, сделанного из двух параллельных пластин с поверхностным зарядом ±s, напряжение (или разность потенциалов этой пары пластин) равно sd/e₀.