Определение скоростей и ускорений

Планом скоростей (ускорений) механизма называется пучок векторов, выходящих из одной точки (полюса плана), каждый из которых в некотором масштабе изображает вектор абсолютной скорости (абсолютного ускорения) какой-либо точки механизма, а отрезки, соединяющие их концы, изображают векторы относительных скоростей (относительных ускорений).

Построение плана скоростей сводится к реализации известного положения теоретической механики, согласно которому при плоско-параллельном движении твёрдого тела (звена) скорость любой его точки равна векторной сумме скорости в поступательном переносном движении вместе с другой точкой, принятой в качестве полюса, и скорости её в относительном вращательном движении относительно этого полюса.

Рассмотрим построение планов скоростей и ускорений на примере кривошипно-ползунного механизма (рис. 4.3). Схема механизма должна быть изображена в масштабе в исследуемом положении. Прежде необходимо определить параметры движения точки А. Её скорость по величине равна произведению угловой скорости кривошипа 1 на его радиус , т. е. и направлена перпендикулярно кривошипу в сторону движения точки А. Ускорение точки А по величине равно произведению квадрата угловой скорости кривошипа также на его радиус, т. е. и направлено от точки А к точке О, так как совпадает с нормальной составляющей полного ускорения точки А из-за равенства нулю тангенциальной составляющей ускорения (угловое ускорение кривошипа принимается равным нулю). Точка А принадлежит не только кривошипу, но и шатуну 2 и принимается в качестве полюса относительного вращения точки В. Скорость точки В определяется векторным равенством , т. е. скорость точки В равна скорости точки А плюс скорость точки В относительно точки А. В этом равенстве первое слагаемое правой части известно по величине и по направлению, второе слагаемое направлено перпендикулярно шатуну 2 в данном положении, т. е. известно по направлению, и, наконец, вектор левой части направлен параллельно направляющим ползуна. При этих условиях треугольник скоростей легко строится в предварительно выбранном масштабе .

Построение плана ускорений производится в той же последовательности, что и план скоростей. При этом используется векторное равенство , в котором первый вектор правой части известен полностью, второй неизвестен ни по величине, ни по направлению. Вектор левой части известен по направлению – он направлен параллельно направляющим ползуна. В этих условиях треугольник ускорений не строится. Разложим вектор относительного ускорения на две составляющих, согласно равенству . Первое слагаемое представляет собой относительное нормальное ускорение, направленное от точки В к точке А и равное по величине частному от деления квадрата относительной скорости на длину шатуна, т. е. . Второе слагаемое, относительное тангенциальное ускорение направлено перпендикулярно шатуну 2 и неизвестно по величине. Теперь план ускорений строится без затруднений с применением заранее выбранного масштаба . Планы скоростей и ускорений данного механизма представлены на рис. 4.3.

Используя планы, легко найти физические величины скоростей и ускорений, для этого необходимо измерить отрезки в миллиметрах, выражающие скорости и ускорения, и умножить их на соответствующий масштаб.

Абсолютная скорость точки В: , .

Относительная скорость точки В: , .

Угловая скорость шатуна 2: , .

Тангенциальное ускорения точки В относительно точки А:

, .

Полное относительное ускорение: , .

Угловое ускорение шатуна 2: , .

4.4. Метод кинематических диаграмм

(метод графического дифференцирования)

Основой метода служит известное положение математики, согласно которому производная функции, заданной в виде графика, в какой-либо её точке численно равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в этой точке к графику функции, то есть

.

Так как теория механизмов и машин имеет дело с именованными числами, то при определении величины тангенса необходимо учитывать масштабы по осям координат графика функции (рис. 4.4), тогда

.

Выберем горизонтальный отрезок произвольной длины и проведём из его левого конца наклонную прямую, параллельную касательной, а из правого конца – вертикальную прямую до пересечения с наклонной. Вычислим длину отрезка, полученного на вертикали и обозначенного на рис. 4.4 буквой . Построенный треугольник является прямоугольным с углом против вертикального катета, равным . Поэтому, записав из треугольника и подставив это отношение в предыдущее выражение, получаем

.

В правой части этого выражения переменной величиной является только , остальные образуют постоянное число, которое можно считать масштабом, то есть

.

Таким образом мы убедились, что отрезок в масштабе выражает производную в данной точке графика.

Для применения рассмотренной методики необходимо предварительно построить график или функции положения механизма, или график аналога скорости. Чтобы построить график производной, необходимо на продолжении оси абсцисс этого графика в левую сторону от оси ординат выбрать произвольный отрезок и на нём строить все треугольники, необходимые для определения отрезков . Все эти отрезки получаются на оси ординат, но каждый из них необходимо разместить на ординатной прямой соответствующего номера, а их концы соединить плавной кривой. Эта процедура даст искомый график.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте задачи кинематического анализа механизмов с низшими парами.

2. Перечислите методы исследования кинематики механизмов.

3. Что должно быть задано для исследования кинематики механизма?

4. В чём заключается сущность аналитического метода исследования кинематики?

5. Что называется масштабом в ТММ?

6. Что такое разметка механизма?

7. Для чего строится разметка?

8. Как определяются скорость и ускорение конца кривошипа?

9. Запишите векторные уравнения для построения планов скоростей и ускорений и объясните их составляющие. Какое правило механики положено в основу этих уравнений?

10. Как определяются скорости и ускорения центра масс шатуна?

11. Как определить угловые скорость и ускорение стержневого звена?

12. Какое правило математики положено в основу графического дифференцирования функции, заданной в виде графика?

13. Приведите пример построении графика производной при заданном графике функции.

14. Как определяются масштабы по осям координат при построении графика производной?