Основные уравнения динамики жидкости

Для получения дифференциальных уравнений движения воспользуемся уравнениями равновесия Эйлера в виде (2.1), а также принципом Даламбера, который заключается в следующем: если в систему уравнений равновесия прибавить силы инерции, взятые с обратным знаком, то эти уравнения будут описывать уже процесс движения жидкости.

Силы давления и массовые силы в уравнениях Эйлера отнесены к единице массы. Если выражение для силы инерции отнести к единице массы, то получим в проекциях на оси координат

Тогда система дифференциальных уравнений движения невязкой жидкости, называемая также системой Эйлера, будет иметь вид

(3.10)

Напомним, что равномерное движение – это частный случай установившегося движения, характеризующийся тем, что по длине потока площадь трубы ω = const, а так как расход тоже постоянный, то есть Q = const, то и скорость потока = const. Несмотря на такую, казалось бы, простоту, этот частный случай широко реализуется и для равномерных потоков в трубопроводах, и для неравномерного медленно меняющегося движения.

Рассмотрим равновесие отсека жидкости, движущейся в трубопроводе (рис. 3.20).

Рис. 3.20

Как известно, равномерное прямолинейное движение – это один из случаев равновесия. А согласно первому закону Ньютона, если тело находится в равновесии, то сумма всех сил, действующих на него, равна нулю.

Будем считать, что весь механизм трения сосредоточен на поверхности соприкосновения потока со стенками трубопровода, внутреннее трение в массиве жидкости учитывать не будем.

Тогда силы трения на стенках будут равны:

где τ – касательное напряжение трения;

– смоченный периметр;

l – длина рассматриваемого отсека.

Помимо сил трения на рассматриваемый отсек действуют силы давления P₁ и P₂ – по оси движения, а такжесила тяжести жидкости в отсеке .

Составим уравнение равновесия, то есть равенства нулю сил, действующих на жидкость, в проекции на ось движения:

или

где

Разделим это уравнение на . Получим:

или

Левая часть равенства – это пьезометрический уклон. Отношение – гидравлический радиус. Окончательно получаем

(3.11)

В случае равномерного движения пьезометрический уклон равен гидравлическому. Тогда получаем

(3.12)

Это и есть основное уравнение равномерного движения жидкости.