Подход к идентификации класса нелинейностей

Изложим подход к структурной идентификации для частного случая системы (22) с выделенной линейной частью

(24)

где , — вход и выход системы, , , , — постоянные матрицы соответствующих размерностей, — некоторая скалярная нелинейная функция.

Относительно структуры функции могут делаться различные предположения. Ниже для аппроксимации функции используется так называемое секторное условие, то есть определяется сектор, ограниченный двумя прямыми, между которыми может лежать искомая нелинейная функция,

, (25)

Из (24) и (25) следует, что чаще всего в системах управления применяются статические нелинейности. Отсюда можно сделать вывод, что для оценки функции следует применять модели, описываемые статическими (алгебраическими) уравнениями. Для идентификации данного класса моделей необходимо получить соответствующее подмножество информационного множества или его преобразованный аналог.

Предположим, что множество для (24) имеет вид

то есть переменные измеряются без помех.

Ставится задача: необходимо на основе обработки множества оценить функцию , принадлежащую классу (25).

Для решения задачи предлагается использовать процедуру информационного синтеза, основанную на реализации следующих шагов.

1. Выделение линейной составляющей в (24).

2. Формирование вспомогательного множества данных , содержащего информацию о нелинейной составляющей в (24).

3. Разработка алгоритма идентификации функции j на множестве .

Так как информация о функции содержится в ненаблюдаемых переменных системы (24), то необходимо получить оценку этих компонент вектора . В частности, применим к выходу операцию дифференцирования и обозначим полученную переменную через . Учет приводит к расширению информационного множества : .

Для реализации первого шага предлагаемой процедуры необходимо выделить подмножество данных , соответствующее частному решению системы (24) (установившемуся состоянию). Это множество формируется путем исключения данных , содержащих информацию о переходном процессе в системе, то есть . Для выделения линейной составляющей из применим математическую модель

, (26)

где — вектор параметров модели.

Вектор ищется так, чтобы минимизировать квадратичный критерий

На основе полученной модели (26) находим прогноз для переменной и формируем ошибку , которая зависит от нелинейности в системе (24). В результате получаем множество , которое будет использоваться на втором этапе информационного синтеза.

5.3. Выбор информационного подмножества в для идентификации функции

Задача выделения подмножества , позволяющего однозначно идентифицировать функцию , является нетривиальной и во многом зависит от имеющейся априорной информации. В условиях неопределенности она сводится к выделению такого интервала изменения переменной , на котором четко проявляются характерные особенности изменения функции .

Изложим процедуру решения рассматриваемой задачи, основанную на анализе особенностей изменения траектории переменной . В качестве первичных характеристик, позволяющих принимать решение, используется информационный портрет (отображение) на плоскости , являющийся в данном случае разновидностью наблюдаемого информационного портрета, или коэффициент структурности для рассматриваемой на данном уровне системы

На основе анализа указанных траекторий выделяется совокупность подмножеств (кандидатов) , среди которых могут содержаться подмножества, не связанные с особенностями нелинейной функции. Под особенностями функции будем понимать потерю непрерывности на некотором интервале , а также появления точек перегибы, экстремумов и прочее. Все эти признаки (особенности) являются свидетельством нелинейности исследуемой функции. В этом смысле будет использоваться понятие информативности множества . Чтобы отличить это понятие от общепринятого понятия информативности, будем называть его -информативностью.

Утверждение 1. Если на некотором интервале функции

. (27)

теряют свойство непрерывности и в их поведении появляются особенности, то этот интервал можно рассматривать как -информативный.

На основе анализа изменения показателей (27) на каждом из временных интервалов из рассмотрения исключаются неинформативные подмножества , а оставшиеся включаются в состав

, .

Итак, сформировано информационное множество , позволяющее перейти к структурной идентификации функции .

Замечание. При анализе изменения или могут появиться "ложные" (неинформативные) множества , которые должны проверяться с помощью параметров (27) (см. §5.5).

5.4. Структурная идентификация функции

Построим сужение информационного портрета на множестве и на основе его анализа сделаем предварительное заключение о классе . Для этого рассмотрим сектор и зададимся подмножеством функций в (24). Очень часто выбор элементов удается сделать довольно точно даже в условиях неопределенности. Учитывая условия, в которых проводятся измерения и формируется множество , для проверки сделанного предположения относительно класса применим модель

, , , (28)

где — выход модели, — параметры модели, . В результате получим множество моделей .

Подберем параметры каждой модели (28) таким образом, чтобы минимизировать квадратичный критерий , ,

. (29)

Для каждой из моделей найдем величину критерия и коэффициент взаимной корреляции (коэффициент детерминации). Оставим только те из моделей (28), для которых справедливо условие

где — заданное число (порог), .

В итоге получим уточнение класса и множество моделей (28).

Для принятия окончательного решения относительно оптимальной структуры функции с помощью каждой из ( , — мощность множества ) моделей находим прогноз для вспомогательной переменной на множестве или для и оставляем только ту из моделей , которая дает минимальное значение ошибки прогнозирования

Пример

Рассмотрим динамическую систему второго порядка

, , (30)

где , , , .

На рис. 4 показаны фазовые портреты системы (30) для линейного и нелинейного случаев. Здесь же приведен наблюдаемый информационный портрет нелинейной системы. Из рисунка видно, что влияние нелинейности начинает проявляться при пересечении оси ординат, т. е. при смене знака переменной .

Рис. 4. Информационные портреты системы (30)

С помощью изложенного выше метода было получено множество , на основе которого идентифицированы параметры модели (26)

Коэффициент детерминированности равнялся 0,92. Из полученных результатов можно сделать вывод о том, что процессы в системе носят нелинейный характер.

После исключения линейной составляющей из было сформировано множество , на основе которого был построен информационный портрет на плоскости (рис. 5а).

Рис. 5. Результаты информационного анализа множества : а — информационный портрет системы (3.45) в пространстве , б — изменение параметра

Целью анализа портрета являлось выделение подмножества . На рис. 5а показан сектор , определяющий класс нелинейных функций , и четыре участка траектории , которым соответствуют подмножества . Из рисунка следует, что для описания нелинейности можно использовать функцию нахождения модуля от . На рисунке показаны также два участка , которые также следует исключить, так как на этих участках траектория достигает локальных экстремумов (рис. 5а) и при дифференцировании это может приводить к большим скачкам, но они не отражают особенности функции .

Для принятия решения об -информативности множеств вычислялся показатель (26) (рис. 5б). Из рис. 5б видно, что множество можно исключить из анализа.

На рис. 6 приведены результаты структурной идентификации системы (30) с , где — знаковая функция. Из рис. 6 видно, что в начале траекторий , переменная (пунктирная линия) претерпевает резкий скачек, что является характерным для идеальных релейных нелинейностей типа . Поэтому в (28) . Коэффициент детерминированности . Здесь же показан выход модели (28) .

Рис. 6. Результаты идентификации нелинейности в системе (3.45) с

Гипотезу о наличии в системе двух множеств -информативности , подтверждает также изменение коэффициента структурности (рис. 7).

В качестве кандидата была опробована также функция , для которой коэффициент равнялся 0,97, то есть на множестве модель (28) с лучше аппроксимирует данные, чем модель с .

Для принятия решения об оптимальной структуре функции проводилось прогнозирование переменной на множестве , где модель с на участках с неявно выраженными нелинейностями показала практически идеальное прогнозирование значений .