Определение порядка линейной динамической системы на основе анализа коэффициента структурности

Известно, что порядок динамической системы определяется его линейной частью, поэтому коэффициент структурности можно использовать в качестве критерия структурной идентификации. Так как анализ наблюдаемого информационного портрета выполняется в пространстве наблюдаемых переменных, то коэффициент структурности носит обобщенный характер и в общем случае не позволяет судить о структурных свойствах динамической системы. Это, в свою очередь, требует привлечения новых подходов к анализу имеющейся информации. Ниже излагается метод оценки порядка модели, основанный на расширении входного пространства системы путем введения вспомогательных переменных, которые позволяют учитывать динамические свойства системы.

Рассмотрим систему

(6)

где , — вход и выход системы, , , ,

— вектор параметров, , , пара является управляемой, спектр собственных чисел матрицы L лежит в левой полуплоскости.

Систему (6) можно привести к следующей выходной форме с обобщенным входом

, (7)

где — вектор параметров, , — обобщенный вход, , — вектор, полученный путем пропускания переменных через вспомогательную устойчивую систему.

Для системы (7) известно множество экспериментальных данных

. (8)

На основе (8) и НИП определяется коэффициент структурности

. (9)

Назовем

(10)

шириной интервала изменения коэффициента .

Ставится задача: на основе анализа множества необходимо найти порядок системы (6) таким образом, чтобы минимизировать ширину интервала изменения коэффициента

. (11)

Для системы (7) порядок системы понимается как число , соответствующее размерности вектора .

При решении практических задач вместо (11) можно потребовать выполнения более слабого условия

где — некоторая величина, которая обычно задается исходя из конструктивных соображений.

Так как , то вычисление на основе (8) может привести к неполноте учета структурных (динамических) свойств системы. Учитывая это, предлагается следующий алгоритм определения .

1. Для на основе (8) вычислить величину коэффициента структурности и по нему найти ширину согласно (10). Обозначить , , , .

2. Положить и сгенерировать вспомогательные переменные и путем решения системы с нулевыми начальными условиями

(12)

где .

Сформировать сигнал

(13)

и для него определить коэффициент структурности

(14)

и ширину .

4. Сравнить и . Если , то положить и закончить процедуру. В противном случае перейти к шагу 2.

Пример определения порядка модели для стационарной системы (4) показан на рис. 2. Здесь использованы следующие обозначения: вычисляется согласно (9),

, .

Ширины интервалов изменения коэффициентов структурности, соответственно, равны ; ; .

На основе полученных результатов можно сделать вывод о том, что для идентификации системы (4) можно применить линейную динамическую модель второго порядка со структурой вектора , соответствующей коэффициенту .

Если система является нелинейной, то следует выполнить процедуру кластеризации множества

с тем, чтобы выделить подмножество данных , позволяющее идентифицировать линейную часть системы. На множестве можно реализовать описанный выше алгоритм.

Замечание. Так как коэффициент структурности содержит динамическую составляющую и переменная , используемая в (10), в реальных системах представляет собой взвешенную комбинацию сигналов , то вместо