Теорема 1. Для того, чтобы вектор был перпендикулярен заданной плоскости достаточно, чтобы он был перпендикулярен двум любым неколлинеарным векторам, лежащим в э той же плоскости.

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В В ПРОСТРАНСТВЕ.

Чтобы зафиксировать плоскость в пространстве ОХУZ достаточно задать точку на ней и ненулевой вектор перпендикулярный плоскости. При выводе уравнения плоскости мы пользуемся следующим определением.

Определение 1. Вектор назовём вектором перпендикулярным плоскости, если он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости. Такой вектор называется нормальным вектором к данной плоскости.

Теорема 1. Для того, чтобы вектор был перпендикулярен заданной плоскости достаточно, чтобы он был перпендикулярен двум любым неколлинеарным векторам, лежащим в э той же плоскости.

Точка принадлежит плоскости, тогда и только тогда, если координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости.

Приступим к выводу уравнения плоскости. Сформулируем конечный результат.

Теорема 2. Плоскость, проходящая через точку и имеющая нормальный вектор , задаётся уравнением

(1)

Доказательство. Нужно проверить, что если точка принадлежит нашей плоскости , то справедливо равенство . Так как точки принадлежат плоскости, то вектор лежит на плоскости и по условию теоремы 2 он перпендикулярен нормальному вектору . Следовательно скалярное произведение равно нулю

Рис.1

Отсюда и следует формула (1).

Пример 1. Написать уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Согласно теореме.2 уравнение искомой плоскости задаётся формулой (1) .Подставляя в неё данные задачи , получаем ответ: .

Таким образом если требуется найти уравнение плоскости, то из данных задачи нужно найти точку, через которую про ходит плоскость и любой вектор нормальный к данной плоскости .

Пример 2. Написать уравнение плоскости проходящей через точку и параллельную векторам .

Решение. Для написания уравнения плоскости не хватает задания вектора нормального к плоскости. Векторы параллельные плоскости можно параллельным сдвигом расположить на плоскости. Вектор , перпендикулярный векторам будет на основании теоремы 1 вектором нормальным к плоскости. Поэтому вектор можно определить как векторное произведение векторов

Отсюда по формуле (1) получаем искомое уравнение плоскости

Замечание. Если в формуле (1) раскрыть скобки, то уравнение плоскости принимает вид

(2)

Такое уравнение плоскости называют общим уравнением плоскости.

Пример 3. Переписать уравнение плоскости в общем виде.

Решение. Раскрывая скобки, получаем ответ .

Приведем простые правила .

Правило 1. Условие параллельности двух плоскостей.Две плоскости , имеющие коллинеарные нормальные векторы параллельны

(3) или

( у коллинеарных векторов координаты пропорциональны) (4)

Правило 2. Условие перпендикулярности двух плоскостей.Две плоскости , имеющие перпендикулярные нормальные векторы перпендикулярны

(5)

Правило 3. Вычисление значения линейного угла между плоскостями.Линейный уголмежду плоскостями , имеющих нормальные векторы вычисляется по формуле

(6)

Пример 4. Проверить взаимное расположение плоскостей

4) Вычислить угол между плоскостями 2) и 4).

Решение. Поскольку все вышеприведённые правила используют понятие нормального вектора к плоскости, то вычисляем эти нормальные вектора

-нормальный вектор к плоскости 1) равен ;

- нормальный вектор к плоскости 2) равен ;

- нормальный вектор к плоскости 3) равен ;

- нормальный вектор к плоскости 4) равен .

Отсюда :

1) векторы коллинеарные, так как по формуле (3) :

2) векторы перпендикулярные, так как по формуле (4) .

3) Вычислим угол между плоскостями 2) и 4)

Согласно формуле (5) получаем

Используя калькулятор, находим угол: .

Прямые линии в пространстве

Для того чтобы получить уравнение наклонной прямой линии на плоскости нам нужно было задать точку на прямой и наклон прямой к оси ОХ. Для того, чтобы получить аналогичное уравнение в пространстве необходимо задать точку на прямой и ненулевой вектор параллельный прямой. Вектор называют направляющим вектором прямой (см. рис.2).

Наиболее простым способом задания прямой является параметрическое задание прямой. Способ задает систему уравнений, в которых координаты любой точки прямой являются функциями параметра .

Теорема 5.3.Параметрические уравнения

(7)

задают при любом значении параметра координаты точки , лежащей на прямой.

Доказательство. Докажем формулу (7). Пусть точка лежит на прямой, которая параллельна вектору .Тогдавекторы и коллинеарные и следовательно

Отсюда следует формула (7).

О

Рис.2

Записывая уравнения (7) в виде пропорций получаем канонические уравнения прямой

(8)

Пример 5. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. Подставляем данные примера в формулу (4), дающую параметрические уравнения прямой и записываем ответ: . Меняя ,получаем различные точки на прямой. Взяв =3, получим точку , лежащую на прямой правее точки . Взяв =-3, получим точку , лежащую на прямой левее точки . Взяв =0, получим точку начальную точку , лежащую на прямой.

Пример 6. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные точки А и В .

Решение. Согласно условиям теоремы 3 нам не хватает вектора параллельного прямой. Но из условия задачи его легко получить. Можно взять вектор . Тогда из формулы (7)

получаем параметрические уравнения прямой . В уравнениях

за начальную точку взята точка А .