Резонаторы с произвольными сферическими зеркалами

В силу предельности и фундаментальности гауссова пучка он устойчив к незначительным изменениям пространственной конфигурации поля. Используя этот факт, возьмем зеркала такой формы, чтобы они повторяли форму фронта пучка в данном месте. Поскольку в параксиальном приближении фронт гауссова пучка в каждой точке z можно рассматривать как сферический, зеркала следует взять сферическими и расположить их там, где кривизна фронта совпадает с кривизной зеркала.

Это позволяет использовать полученные для симметричных конфокальных резонаторов результаты для анализа резонаторов с произвольными сферическими зеркалами.

Для начала рассмотрим резонаторы с зеркалами, имеющими одинаковый радиус кривизны R.В этом случае нам необходимо определить длину эквивалентного симметричного конфокального резонатора. Для этого воспользуемся формулой (6.11), которую запишем в виде

(7.1)

где L – длина исследуемого резонатора.

Тогда

(7.2)

Структура распределения поля собственных типов колебаний будет такой же, как в эквивалентном резонаторе. Однако изменение расстояния между зеркалами приводит к изменению выражения для собственных частот резонатора, которые определяются уже формулой (6.4), из которой видно, что по сравнению с симметричным конфокальным резонатором вырождение частично снимается и спектр собственных частот становится более сложным.

Потери для мод в рассматриваемом резонаторе будут такими же, как в эквивалентном конфокальном резонаторе, если выполняется соотношение

(7.3)

Величина r_1/_e может быть рассчитана по формуле (6.7).

Аналогичным образом может быть проведено рассмотрение резонаторов с произвольными сферическими зеркалами.

В этом случае поперечник основной моды резонатора будет определяться формулой

(7.4)

где R_i, R_k - радиусы кривизны i и k ( i, k =1,2, i ≠ k )зеркал резонатора.

Из (7.4) следует, что в случаях L→R_i, или L→R₁+R₂размер пятна на одном или обоих зеркалах стремится к бесконечности.

Физический смысл этой особенности означает, что конфигурация поля не может рассматриваться как устойчивая (в гауссовом смысле). Соответственно, резонаторы, для которых выполняются условия

R1<L<R2, L>R1+R2, (7.5)

называют неустойчивыми. К их числу относятся и резонаторы, образованные выпуклыми зеркалами (рисунок 7.1). Видно, что долго распространяться в резонаторе могут только волны, распространяющиеся строго вдоль оси резонатора. Малейшее отклонение от этого направления (а оно неминуемо уже в силу дифракции) приведет к выходу волны из резонатора наружу.