Тема 13. Устойчивость элементов конструкций

Критическая сила Р_кр — сила, при которой прямолинейная форма перестает быть устойчивой формой равновесия сжатого стержня. В пределах упругих деформаций она определяется по формуле Эйлера:

где - минимальный осевой момент инерции поперечного сече­ния; Е - модуль упругости первого рода; l — длина стержня; — ко­эффициент приведения длины, определяется способом закрепления стержня.

Для наиболее часто встречающихся способов закрепления величина приведена на рис. 13.1. Величину можно определит по формуле , где — число полуволн в изогнутой (по синусоиде) оси стержня.

Критическое напряжение (при , где — предел упругости)

где - гибкость стержня; - минимальный радиус инерции сечения, м.

Таким образом, критические напряжения не зависят от характеристик прочности материала, а определяются только модулем упругости.

Условие применимости формулы Эйлера: , откуда получаем предельное значение гибкости:

Для стали

За пределом упругости ( , ) применяется формула Ясинского

Рис. 13.1

для стали Ст3 = 310,0 - 1,14 (МПа);

для дерева = 29,3 - 0,194 (МПа).

Допускаемое напряжение при продольном изгибе определяется через допускаемое напряжение сжатия :

,

где — коэффициент снижения допускаемых напряжений (зависит от материала и гибкости стержня). Очевидно, < 1,0.

Расчеты на устойчивость основываются на условии устойчивости:

Расчет ведется на сжатие, но по пониженным допускаемым напряжениям, равным .

При проверочном расчете на устойчивость определяется коэффициент запаса устойчивости:

Допускаемое значение коэффициента запаса для стальных стержней [ ] = 1,7... 3, чугунных [ ] = 5, деревянных [ ] =3.

Проектный расчет на устойчивость проводится путем последовательных приближений. В неравенстве устойчивости, когда требуется определить размеры стержня при выбранном материале и форме сечения, неизвестными являются площадь сечения А и коэффициент . Поэтому в первом приближении принимается = 0,5. Затем расчет ведется по такой схеме: определяем

1) площадь

2) размеры сечения, а по ним радиус инерции

3) гибкость стержня

4) коэффициент в конце приближения.

Если и =0,5 значительно расходятся, то проводим второе приближение, взяв в начале расчетов

Приближения проводим, пока расхождение между коэффициентами в начале и конце приближения не будет меньше 0,1. Если на i-м приближении это расхождение стало < 0,1, то результат расчета оцениваем по напряжениям.

Допускаемое напряжение после i -го приближения

Напряжение сжатия в стержне

Находим недогрузку (или перегрузку):

Если недогрузка не превышает 15%, а перегрузка — 5%, то размер сечения подобран удачно. В противном случае делается следующее приближение.