Тема 3: Кинематика твердого тела

Лекция 3. Теорема Грассгофа и виды движения твердого тела.

Абсолютно твердым телом называют такую совокупность
материальных точек, расстояния между которыми в процессе
движения остаются неизменными

является геометрическим. Наряду с этим утверждение, устанавливаемое следующей теоремой, лежит в основе кинематики твердого тела и считается, поэтому, кинематическим определением твердого тела.

Теорема Грассгофа

Проекции скоростей двух любых точек твердого тела на прямую, их соединяющую, одинаковы.

Действительно, пусть имеем две точки – А и В (рис. 3.1).

Рисунок 3.1. К выводу теоремы Грассгофа

Соединим их вектором . Тогда , следовательно, и . Но , а . Таким образом, . Окончательно, .

Очевидно, задачами кинематики твердого тела являются задание движения тела как целого и задание движения каждой его точки и определение по заданному закону движения тела его кинематических характеристик (угловой скорости и углового ускорения) и кинематических характеристик любой точки тела (траектории, скорости и ускорения). На первый взгляд, кажется, что задачи эти необъятные, однако это не так, о чем говорит следующее соображение.

Положение твердого тела вполне определяется треугольником, ему принадлежащим

Действительно, зная положение некоторого треугольника, принадлежащего телу, можно с ним связать систему декартовых координат, например, как показано на рис. 3.2. Такая система координат называется связанной. Тогда любая другая точка М тела будет иметь в этой системе координат постоянные абсциссу (x_M), ординату (y_M) и аппликату (z_M). Таким образом, задать положение или движение твердого тела можно, задав положение треугольника в нем, или, что, то же самое, – положение связанной с ним системы координат относительно неподвижной системы отсчета. Таким образом, задача определения положения тела и его точек сводится к определению положения связанной системы координат относительно неподвижной.

Рисунок 3.2 ‑ К заданию движения твердого тела треугольником

Связанная система координат может двигаться относительно неподвижной 5-ю различными способами. В связи с этим различают 5 видов движения твердых тел.

1. Оси двух систем во все время движения параллельны друг другу. Это значит, любая прямая (ВC на рисунке 3.3), принадлежащая телу или жестко с ним связанная, останется параллельной своему первоначальному положению. То есть, в этом случае имеет место поступательное движение. Положение связанной системы координат будет определяться одной точкой – началом связанной системы координат. Обобщенными координатами, таким образом, в этом движении будут координаты этой точки – декартовые, естественные, цилиндрические, сферические и т.д.

Рисунок 3.3 ─ Поступательное движение

2. Системы координат имеют одну совпадающую ось. Она, как геометрическое место неподвижных точек, называется осью вращения, а движение тела будет вращательным. Так как прямая определяется двумя точками, то говорят, что вращательное движение твердого тела это движение тела с двумя неподвижными точками. В этом случае начала систем координат можно выбрать совпадающими, и одну из осей координат (например, Oz) расположить вдоль оси вращения. Положение связанной системы координат будет характеризоваться одним параметром – углом поворота вокруг общей оси (j на рисунке 3.4). Это и будет обобщенная координата при таком движении.

Рисунок 3.4 ─ Вращательное движение

3. Системы координат имеют одну общую плоскость. Свяжем с этой плоскостью одну из координатных плоскостей связанной системы (Oxy на рисунке 3.5). Движение связанной системы координат возможно только при скольжении одной плоскости по другой. Следовательно, при плоскопараллельном движении любая точка связанной системы координат будет находиться на неизменном расстоянии от этой плоскости (т. М и расстояние ММ₁). Положение связанной СК определится обобщенными координатами – декартовыми координатами начала системы координат и углом поворота вокруг оси, перпендикулярной общей плоскости.

4. Системы координат имеют одну общую точку. Движение с одной неподвижной точкой называется сферическим. Это связано с тем, что, ввиду постоянства расстояний между точками твердого тела, всякая точка тела будет двигаться по сферической поверхности с центром в неподвижной точке тела. Положение связанной системы координат определится углами Эйлера (рисунок 3.6),Крылова и т.д., которые и будут обобщенными координатами при сферическом движении. Наряду с этим, в сферическом движении используют и системы избыточных обобщенных координат. Таковыми могут быть направляющие косинусы между осями систем координат (их 9, следовательно, избыточных – 6) или параметры Родрига-Гамильтона (компоненты кватернионов) – их 4, следовательно, избыточных – один. Для однозначности используют в этом случае дополнительные соотношения. Для косинусов – это 6 условий ортонормированности, для параметров Родрига-Гамильтона – условие нормировки.

Рисунок 3.5 ─ Плоскопараллельное движение тела	Рисунок 3.6 ─ Сферическое движение тела

5. Наконец, связанная система координат не имеет ничего общего с неподвижной. Это свободное или пространственное движение. Обобщенными координатами в этом случае будут координаты начала связанной системы и углы Эйлера (рисунок 3.7),Крылова и т. д., направляющие косинусы, параметры Родрига-Гамильтона (как составляющие нормированного кватерниона, называемые в западной литературе параметрами Эйлера).

Рисунок 3.7 ─ Свободное пространственное движение твердого тела

Перейдем к рассмотрению этих видов движений твердого тела по отдельности.