Модель одномерного кристалла. Акустические и оптические колебания

Цепочка из атомов одного сорта.Рассмотрим колебание бесконечной цепочки одинаковых атомов массы , которые находятся на расстоянии друг от друга (рис.3.1, a). Силы, действующие между соседними атомами, предполагаются упругими, пропорциональными деформации (выполняется закон Гука).

а)
б)
Рис.3.1. Цепочка из одинаковых атомов (а) и атомов разного сорта (б)

Если обозначить через смещение –го атома, то уравнение движения для него можно записать в виде

(3.1)

где – упругая постоянная.

Представим решение уравнения (3.1) в виде бегущей волны

. (3.2)

Здесь – волновое число, и вместо непрерывной координаты введена дискретная переменная . Подставляя (3.2) в (3.1), получим дисперсионное уравнение

(3.3)

Таким образом, частота колебаний атомной цепочки зависит от упругой постоянной , массы атома и длины волны колебаний . Волна с волновым вектором ( – параметр обратной решетки, – целое число) тождественна первоначальной. Поэтому можно ограничиться областью изменения от до . Эта область значений называется первой зоной Бриллюэна. На рис.3.2, a представлена дисперсионная кривая. Как видно, спектр бесконечной цепочки является непрерывным в границах от 0 до .

а	б
Рис. 3.2. Закон дисперсии для цепочки атомов одного сорта (а) и двух сортов (б)

Фазовая и групповая скорости распространения упругих волн являются функциями длины волны, другими словами имеет место дисперсия:

(3.4)

где – скорость звука.

Для больших длин волн ( ) имеем Таким образом, дисперсия отсутствует, цепочка атомов может рассматриваться как сплошная среда, скорость распространения колебаний достигает наибольшего значения – скорости звука.

Результаты расчетов в рамках грубой одномерной модели позволяют допустить, что по известной скорости обычных звуковых волн в кристалле можно оценить постоянную возвращающей силы , а, следовательно, и сжимаемость .

По мере уменьшения длины волны скорость распространения колебаний уменьшается, наблюдается значительная дисперсия и при групповая скорость падает до нуля, а частота достигает максимального значения

. (3.5)

Если цепочка атомов ограничена, то спектр колебаний становится дискретным, и в результате отражения от концов цепочки бегущие волны замещаются стоячими.

Цепочка из атомов двух сортов. Обратимся к более сложному случаю: линейной цепочке из атомов двух сортов (рис.3.1, 6). Уравнения движения для атомов с массой и координатой и атомов с массой и координатой имеют вид

(3.6)

Решение ищем в виде бегущих волн

(3.7)

Подставив (3.7) в (3.6), получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов А и В. Условиесуществование решения этой системы дает нам дисперсионное уравнение, которое имеет два корня

(3.8)

Графическая зависимость от представлена на рис.3.2, б. Как и в случае цепочки одинаковых атомов имеется корень , который вблизи =0 пропорционален . Соответствующее колебание называется акустическим. Соседние атомы и при акустических колебаниях смещаются в одном направлении (рис.3.3, а). Максимально возможная частота акустических колебаний не зависит от массы более легких атомов и равняется

(3.9)

а	б
Рис. 3.3. Смещение атомов при поперечных акустических (а) и поперечных оптических (б) колебаниях

При этом фазовая скорость стремится к бесконечности, а групповая скорость – к нулю. С ростом частота уменьшается и стремится к своей нижней границе

(3.11)

для самой короткой из возможных длин волн . В этом случае тяжелые атомы остаются неподвижными, и волна распространяется за счет смещения легких атомов. Групповая скорость для предельной частоты стремится к нулю.

Оптическая ветвь колебаний может возникать не только в результате неодинаковости масс атомов. При равенстве масс оптические колебания возникают из-за различия расстояний между молекулами (или между атомами внутри молекул), поскольку это приводит к различию в коэффициентах упругой связи между ними.

Отсутствие решения для частот в интервале от до на границе первой зоны Бриллюэна (при ) свидетельствует о наличии щели (запрещенной зоны). Отношение масс атомов определяет как ширину запрещенной зоны, так и ширину оптической ветви. При малом отличии масс запрещенная область оказывается достаточно узкой, а отношение предельных частот оптической ветви приближается к . В случае, когда намного превышает , запрещенная зона будет широкой, а частоты оптических колебаний образуют узкую область.

Следует отметить, что и для акустической и для оптической ветви каждому продольному колебанию, при котором смещение атомов происходит вдоль направления распространения колебаний, отвечает два поперечных (смещение атомов происходит в ортогональном направлении по отношению к направлению распространения).