Определение главных напряжений

Главными напряжениями называются нормальные напряжения, действующие по площадкам, где отсутствуют касательные напряжения. Координатные оси, являющиеся нормалями к таким площадкам, называются главными осями тензора напряжений, а сами площадки – главными площадками.

Главные напряжения определяются из кубичного уравнения:

(2.2)

Подставляя численные значения инвариантов тензора напряжений из (2.1), получаем:

Кубичное уравнение всегда имеет три корня. При этом встретиться два случая:

1) уравнение имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных;

2) уравнение имеет три действительных корня.

Уравнения для определения главных напряжений и главных деформаций всегда имеют три действительных корня. Решать их можно по-разному.

1. Можно сначала определить подбором один из корней уравнения, а затем разложить левую часть уравнения (2.2) на два сомножителя: линейный двучлен и квадратный трехчлен. После этого из решения квадратного уравнения определяются два оставшиеся корня.

2. Существует и аналитический способ решения, для этого используются формулы Кардано.

Воспользуемся вторым способом.

à Решение кубичного уравнения по формулам Кардано

Пусть задано кубическое уравнения:

(2.3)

После подстановки

(2.4)

получают приведенное кубичное уравнение:

(2.5)

Здесь и вычисляются по формулам:

(2.6)

Формулы Кардано для случая уравнения с тремя действительными корнями имеют вид:

(2.7)

(2.8)

Далее с помощью подстановки (2.4) в (2.3) находят корни исходного уравнения.

à Решение уравнения (2.2):

(2.9)

Подстановка (2.4) с новыми обозначениями получает вид:

. (2.10)

Здесь изменен знак второго слагаемого подстановки потому, что .

Подставляя (2.10) в (2.9) получим уравнение аналогичное (2.5):

(2.11)

Здесь коэффициенты и вычисляются по формулам (2.6):

Далее по формулам (2.7) находим:

По формулам (2.8) находим корни уравнения (2.11):

Учитывая (2.10), находим корни исходного уравнения (2.9), являющимися главными напряжениями:

(2.12)

В соответствии с правилом индексации главных напряжений введены обозначения: - алгебраически максимальное напряжение; - алгебраически среднее (минимаксное) напряжение; - алгебраически минимальное напряжение.

Величины и вычислялись с точностью до третьего знака после запятой для того, чтобы в дальнейшем при решении систем уравнений, в которых от зависят величины коэффициентов, избежать возможных больших погрешностей, если встретятся малые разности больших величин.