Непрерывность функции

Функции одной независимой переменной. Пределы. Непрерывность функций. Производная, геометрический смысл. Исследование функций.

Предел функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀.

О (на « языке последовательностей», или по Гейне):Число А называется пределом функции y=f(x) в точке x₀, если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, nÎN (xn¹x0), сходящейся к x₀ ( т.е. ), последовательность соответствующих значений f(x_n),nÎN, сходитьсяк числу А.

Техника вычисления пределов.

При вычисление предела элементарной функции f(x) приходиться сталкиваться с двумя различными типами примеров.

1. Функция f(x) определена в предельной точке х = а. Тогда

2. Функция f(x) в предельной точке х = а не определена или же вычисляется предел функции при х ® ¥ . Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода. В одних случаях ( наиболее простых) вопрос сводиться непосредственно к применению теорем о свойствах бесконечно больших и бесконечно малых функций и связи между ними.

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке х = а или при х ® ¥ представляет собой неопределенность ( типа

Приведем основные теоремы, на которых основано вычисление пределов.

1) Если существуют и , то

· = +

· = -

· = *

· = / при ¹ 0

2) = С* , где С – некоторое число

3) Связь между бесконечно малой и бесконечно большой величинами (С– некоторое число):

Рассмотрим некоторые ПРИМЕРЫ:

Пример 1. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Пример 2. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.

Пример 3. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому как это сделано в примере 2.

Пример 4. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому как это сделано в примере 2.

Пример 5. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение стоящее в знаменателе на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Вычисление пределов с использованием замечательных пределов.

Применение замечательных пределов

и

Пользуясь этими формулами, можно вычислить ряд пределов.

Пример 6. Вычислить .

, заменяя 3x = y и учитывая, что y → 0 при x → 0, получаем:

.

Пример 7 . Вычислить

Здесь мы воспользовались известным из курса средней школы пределом:

.

Пример 8 . Вычислить

Заменяя и учитывая, что y → ∞ при x → ∞, можем написать:

.

Непрерывность функции

О: Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке, который равен значению функции в этой точке, т.е. .

Примером непрерывной функции может служить любая элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.

Точка х = а называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция определена в некоторой окрестности точки х = а, но в самой точке х = а не удовлетворяет условию непрерывности.

Точки разрыва функции делятся на два типа. К точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы: (левый предел) и (правый предел). К точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Задание 4. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график

Решение:Функция является неэлементарной, так как на разных интервалах представлена различными аналитическими выражениями. Эта функция определена на интервалах (-∞;0), (0;2) и (2; +∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Внутри каждого интервала указанные элементарные функции не имеют точек разрыва, следовательно, разрыв возможен только в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х₁ = 0 и х₂ = 2.

Для точки х₁ = 0 имеем:

Так как , то функция в точке х₁ = 0 имеет разрыв первого рода.

Для точки х₂ = 2 находим:

Так как , то функция в точке х₂ = 2 имеет разрыв первого рода.

График данной функции изображен на рис. 1.

Рис. 1.

3.3 Производная, геометрический смысл.