Корреляционный анализ.

1. Одной из важных задач эпидемиологии является анализ заболеваемости по факторам риска.

Фактор риска в медицине - это фактор, способствующий возникновению заболевания (например, курение - фактор риска по отношению к инфаркту миокарда или раку, число аварий в сети водопровода - фактор риска по отношению к дизентерии).

Для количественной оценки факторов риска развития заболевания используется корреляционный анализ.

Корелляционный анализ - это количественный метод определения тесноты и направления связи между двумя и более случайными величинами.

Впервые в научный оборот термин «корреляция» ввел французский палеонтолог Ж. Кювье (XVIII в.), а в статистике его первым стал использовать Ф. Гальтон (ХIX в.).

Для того чтобы охарактеризовать связь между переменными численно, вводится понятие коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции - показатель, характеризующий силу связи и ее направление, принимает значения в промежутке [-1, 1].

Для оценки силы связи в теории корреляции применяется шкала английского статистика Чеддока (таблица 5.1).

Таблица 5.1.

По направлению различают прямую и обратную корреляционную связь.

Прямая корреляционная связь - связь, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной (рост заболеваемости дизентерией при увеличении в воде водопровода доли нестандартных проб воды).

Обратная корреляционная связь - связь, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной (снижение заболеваемости гепатитом «В» по мере увеличения охвата населения вакцинацией против этой инфекции).

При прямой связи коэффициент корреляции принимает значения от «0» до «+1».

При обратной связи коэффициент корреляции принимает значения от «-1» до «0».

Если коэффициент корреляции равен «0», то связь между явлениями отсутствует.

Если коэффициент корреляции равен «+1» или «–1», то связь между явлениями функциональная.

2. При анализе зависимости между двумя переменными применяют диаграммы рассеяния.

Диаграмма рассеяния - наглядный способ представления корреляционной зависимости между двумя переменными (рисунок 5.1).

Диаграмма рассеяния - это точечная диаграмма в виде графика, получаемого путем нанесения в определенном масштабе экспериментальных, полученных в результате наблюдений точек. Координаты точек на графике соответствуют значениям рассматриваемой величины и влияющего на него фактора. Расположение точек показывает наличие и характер связи между двумя переменными.

a b c

Рисунок 5.1. Диаграммы рассеяния: a - прямая связь; b - обратная связь;с -связь отсутствует

3. Линейный (парный) коэффициент корреляции (Пирсона)-показатель, характеризующий силу связи и ее направление:

, (5.1)

где r_xy – коэффициент корреляции; х и у – коррелируемые ряды; , - средние значения.

Парный коэффициент корреляции является параметрическим коэффициентом.

Применение парного коэффициента корреляции Пирсона возможно, если выполняются следующие условия:

· сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений;

· распределения переменных должны быть близки к нормальному;

· число значений рассматриваемых переменных должно быть одинаковым.

4. Достоверность коэффициента корреляции определяется сравнением его с вычисляемой средней ошибкой.

Средняя ошибка коэффициента корреляции:

, (5.2)

где r_xy – коэффициент корреляции; n - число наблюдений.

Коэффициент корреляции считается достоверным, если в 3 раза превышает свою среднюю ошибку. Иначе необходимо увеличить число наблюдений.

Достоверность коэффициента корреляции определяется по специальным таблицам.

Пример 5.1. Для следующих данных рассчитать линейный коэффициент корреляции Пирсона:

Решение:

1) Составить расчетную таблицу:

№	х	У
			-45		-495
				-1	-27
			-77	-3
			-15	-8
			-36	-17
Сумма
Среднее

2) Вычислить коэффициент корреляции:

.

3) Проанализировать полученный результат: связь между рассматриваемыми признаками прямая умеренная.

4) Вычислить среднюю ошибку коэффициента корреляции:

,

коэффициент корреляции не является достоверным, т.к. не превышает свою среднюю ошибку в три раза.

5. При анализе клинических и фармацевтических явлений часто используются следующие непараметрические коэффициенты связи:

· ранговой корреляции Спирмена;

· «τ» (тау) Кендалла;

· ассоциации Юла;

· контингенции Пирсона;

· сопряженности Чупрова;

· «γ» (гамма) и др.

Рассмотрим коэффициент ранговой корреляции, которыйбыл разработан и предложен для проведения корреляционного анализа в 1904 г. Ч.Э. Спирменом (рисунок 5.2), английским психологом, профессором Лондонского и Честерфилдского университета.

Рисунок 5.2. Ч.Э. Спирмен

Коэффициент ранговой корреляции - это коэффициент, который измеряет связь между рангами данной варианты по разным признакам.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена используется для определения тесноты связей между количественными, так и между качественными признаками при условии, если их значения упорядочить по степени убывания или возрастания признака.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

, (5.3)

где n - объем совокупности, - разность между рангами i-го объекта.

Качественную характеристику тесноты связи коэффициента ранговой корреляции, как и других коэффициентов корреляции, можно оценить по шкале Чеддока.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена применяется в случае, если объем выборки «n» удовлетворяет неравенству 5≤n≤40.

Пример 5.2. В одном населенном пункте зарегистрировано наличие хронической эпидемии дизентерии Флекснера. Предварительный анализ и лабораторные исследования показали, что в питьевой воде водопроводной сети наблюдаются частые «проскоки» нестандартных проб по бактериологическим показателям (фактор риска). Необходимо проверить гипотезу о наличии связи между этими двумя признаками.

Решение:

1) Составить расчетную таблицу:

№	х	у
				1,5	5,5	30,25
		0,5
		1,1			-3
		2,0			-2
		1,8			-2
		2,9
		6,7			-1
		4,5
		8,7			-1
		7,1
		3,2			-3
				1,5	0,5	0,25
Сумма						70,5

2) Вычислить коэффициент корреляции:

.

3) Проанализировать полученный результат: связь между рассматриваемыми признаками прямая высокая.

4) Вычислить среднюю ошибку коэффициента корреляции:

,

коэффициент корреляции является достоверным, т.к. превышает свою среднюю ошибку более чем в три раза.

5. Литература:

1. Васильева Л.А. Статистические методы в биологии, медицине и сельском хозяйстве: Учеб. пособие для вузов. - Новосибирск, Новосибирский Государственный университет, 2007. - 128 с

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов В.Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.

3. Лобоцкая Н.Л. Высшая математика. / Н.Л. Лобоцкая, Ю.В. Морозов, А.А. Дунаев. - Мн.: Высшая школа, 1987. - 319 с.

4. Медик В.А., Токмачев М.С., Фишман Б.Б. Статистика в медицине и биологии: Руководство. В 2-х томах / Под ред. Ю.М. Комарова. Т. 1. Теоретическая статистика. - М.: Медицина, 2000. - 412 с.

5. Основы высшей математики и математической статистики: Учебник/ Павлушкин и соавт. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. - 424 с.

6. Плохинский Н.А. Биометрия / изд. 2. - М.: МГУ, 1970. - 367 с.

7. Савилов Е.Д., Астафьев В.А., Жданова C.Н., Заруднев Е.А. Эпидемиологический анализ: Методы статистической обработки материала. – Новосибирск: Наука-Центр, 2011. – 156 с.

8. http://medstatistic.ru/