Сменная производительность тракторных агрегатов

Статистическая проверка гипотез.

Под статистической гипотезой понимаются различного рода предположения относительно характера или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.

Следует иметь в виду, что статистическая проверка гипотез имеет вероятностный характер, так как принимаемые выводы основываются на изучении свойств распределения случайной переменной по данным выборки, а потому всегда существует риск допустить ошибку. Однако с помощью статистической проверки гипотез можно определить вероятность принятия ложного решения. Если вероятность последнего невелика, то можно считать, что применяемый критерий обеспечивает малый риск ошибки.

Для построения статистического критерия, позволяющего проверить некоторую гипотезу, необходимо следующее:

1) сформулировать проверяемую гипотезу H_0. Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая (альтернативная) H₁ гипотеза;

2) выбрать уровень значимости α, контролирующий допустимую вероятность ошибки;

3) определить область допустимых значений и так называемую критическую область;

4) принять то или иное решение на основе сравнения фактического и критического значений критерия.

На следующем примере рассмотрим проверку гипотезы о существенности различия двух выборочных средних (для случая малой выборки).

На двух типах почв изучалась сменная производительность однотипных тракторных агрегатов на вспашке. На первом типе почв вспашку вели 5 агрегатов, на втором – 4. Результаты испытаний представлены в таблице 6.1.

Таблица 6.1

Сменная производительность тракторных агрегатов

на вспашке, га (результаты испытаний)

Установить, имеют ли место существенные различия в производительности тракторных агрегатов на разных типах почв, что, в свою очередь, позволит в дальнейшем дифференцировать нормы выработки, или эти различия случайны. В данном случае имеются две небольшие по численности выборочные совокупности наблюдений. На их основе требуется установить наличие или отсутствие существенных (неслучайных) различий в сменной производительности, что сводится к проверке статистической гипотезы.

Наблюдения в выборках независимы, поскольку нет оснований предполагать, что каждому агрегату, работающему на типе почвы А, подобран полный аналог для работы на типе почвы В. Практически осуществить такой подбор очень сложно, тем более что число агрегатов, работающих на разных типах почв, неодинаково. Поэтому обобщенный уровень выработки характеризуется средними выборочными значениями:

га; га.

Полученные выборочные средние имеют случайные средние ошибки выборки , где σ² – оценка дисперсии.

;

.

Средние ошибки выборки составят:

га; га.

Разность между средними га, также может иметь случайную ошибку. Для оценки разности средних выдвинем гипотезы:

нулевую : , то есть средние по двум генеральным совокупностям равны, или, иными словами, средняя выработка на двух типах почв одна и та же, а имеющиеся по выборке различия носят случайный характер;

альтернативную : - средние по двум генеральным совокупностям не равны, то есть производительность тракторных агрегатов существенно меняется от типа почв.

Для проверки выдвинутых гипотез необходимо использовать критерий t Стьюдента, поскольку каждая из двух выборок является малой. Выдвинутые гипотезы проверим с уровнем значимости α=0,01, поскольку допущение ошибки приведет к существенным материальным потерям: если ошибочно будет принята гипотеза , то очевидны материальные потери работающих на худших с точки зрения производительности почвах; если ошибочно будет принята гипотеза , материальные потери будут нести предприятия, установившие на одном из типов почвы более низкую норму выработки.

Фактическое значение критерия t Стьюдента рассчитаем по формуле

,

где - средняя обобщенная ошибка двух независимых выборок, которая

показывает, насколько в среднем могут отличаться две выборочные средние в силу

случайных причин.

Следовательно,

.

По таблице распределения Стьюдента установим критическую величину t-критерия при уровне значимости α=0,01 и числе степеней свободы . При α=0,01 и , отсюда

t_факт. < t_{табл. .}

Табличное значение нормированного отклонения показывает максимальную величину отношения случайных ошибок выборочных средних к средней ошибке (при соответствующей вероятности и степенях свободы).

Поскольку фактическое отношение разности двух средних к их средней ошибке (1,95) значительно ниже табличного значения (3,50), следовательно, разность между средними не существенна. Отсюда следует признать верной нулевую гипотезу.