Кинематический анализ механизмов с использованием аналитических методов.

Аналитическое решение задачи о положениях звеньев
механизма может быть реализовано либо методом преобразования
координат (Ю.Ф. Морошкина), либо методом замкнутого векторного
контура (В.А. Зиновьева).

Метод преобразования координат.

Проиллюстрируем на примере определения положения звеньев плоского механизма манипулятора, полученного из незамкнутой кинематической цепи (рис. 2.4).

Попутно заметим, что этот метод позволяет для любых механизмов сравнительно просто автоматизировать процесс вычислений средствами ЭВМ при использовании стандартных программ преобразования координат звеньев, образующих наиболее распространённые кинематические пары.

Число степеней подвижности манипулятора W=3n-2p₅-p₄=3·3-2·3=3.

Известными являются длины звеньев l₁ и l₂ и координаты произвольно выбранной точки C₃(x_c3,y_c3) в подвижной системе координат x₃By₃, связанной
со звеном 3, а также углы , где t—время. В индексах первым указан номер звена, к которому относится угол поворота,
вторым — номер звена, от которого угол поворота отсчитывается.

Требуется определить траекторию точки С относительно неподвижной системы координат x0Oy0 (стойки). Если ввести в рассмотрение точки С0, С1, С2, которые в данный момент времени совпадают с точкой С3, но принадлежат соответственно звеньям О (стойка), 1 и 2, то получим:

	Рис. 2.4. Схема системы координат для определения положения точки С.

Решение системы шести линейных уравнений с шестью неизвестными
позволяет найти координаты точки С₃ в неподвижной системе
координат .

Метод замкнутого векторного контурапроиллюстрируем на примере определения кинематических характеристик механизма шарнирного четырёхзвенника (рис. 2.5).

Представим звенья кинематической цепи в виде векторов. Выбор направлений векторов может быть произвольным, однако начало вектора целесообразно поместить в неподвижной точке. В нашем примере векторы и выходят из неподвижных точек. Направления векторов и могут быть заданы произвольно.

	Рис. 2.5. Векторный многоугольник четырёхзвенной кинематической цепи.

Условие замкнутости кинематической цепи можно записать либо в векторной форме, либо в виде уравнений проекций. В рассматриваемом случае векторное уравнение имеет вид

. (2.1)

Этому уравнению соответствуют два уравнения проекций на оси координат

(2.2)

Таким образом, система уравнений (2.2) связывает три переменные величины , вследствие чего рассматриваемая кинематическая цепь имеет одну степень свободы и, следовательно, одну обобщённую координату.

Решив задачу о положениях механизма, перейдём к задачам об определении скоростей и ускорений. Для этого продифференцируем уравнение (2.2) по

(1.3)

Так как - аналог угловой скорости звена 2 и - аналог угловой скорости звена 3, то

(1.4)

U₂₁, U₃₁ являются передаточными отношениями

.

Из углов и первого уравнения системы (1.4) вычитаем общий угол ,

что соответствует повороту осей координат xOy на общий угол

отсюда

Аналогично поворотом осей на угол получим из второго уравнения
системы (1.4)

Для определения ускорений продифференцируем уравнения (1.4) по

(1.5)

Здесь - аналоги угловых ускорений.

,

.

Здесь и - соответственно заданные угловая скорость и угловое ускорение звена 1.

2.5. Кинематический анализ механизмов с использованием
графических методов.

При отыскании положений механизма графическим методом его кинематическая схема вычерчивается в выбранном масштабе К_L , в каком-либо положении начального звена.

Масштаб длин (точнее масштабный коэффициент):

Например, М 1:5 соответствует К_L=0,005 м/мм. Это значит, что 1мм на схеме соответствует 0,005 м натуральной величины.

Построение кинематических схем механизмов методом засечек, который выполняется с помощью элементарных геометрических операций.

Пример: Требуется построить план шарнирного четырёхзвенника, если заданы l_OA, l_AB, l_BC, l_OC, ω = const.

Планом механизманазывается графическое изображение взаимного поло­жения звеньев, соответствующее выбранному моменту времени. Ряд следую­щих друг за другом планов позволяет наглядно проследить за движением звеньев и перемещением точек по траекториям.

Решение: Сначала показываем на чертеже положение неподвижных элементов кинематических пар: точек О и С.

Затем в заданном положении изображаем начальное звено. Радиусом l_ОА вычерчиваем окружность, по которой перемещается точка А. Окружность может быть разделена на любое число равных или неравных частей. При равномерном вращении начального звена целесообразно разделить окружность на равные части, чаще всего на 8 или 12. Каждое положение точки А обозначается опре­делённым номером, который в дальнейшем присваивают плану всего механиз­ма. За нулевое положение предпочтительно принять то, при котором кривошип А₀О и шатун А₀В₀ будут лежать на одной, прямой. Это обеспечит крайнее (в нашем случае левое) положение коромысла B₀С (ведомого звена).

После этого определяем остальные положения звеньев структурной группы АВ-ВС, в частности точки B_i, делая засечки радиусом АВ из каждой точки A_i на траектории точки В. Соединив точки О, A_i, B_i, и С, получим i-ый план ме­ханизма.

На рис. 2.3 представлена схема построения двенадцати планов кривошипно-ползунного механизма, из которых выделено три, и траектория точки S.

		Рис 2.7.Кривошипно-ползунный механизм в четвертом, девятом и одиннадцатом положениях.