Методы Лагранжа и Эйлера исследования движения жидкости

Способы описания движения.

Раздел гидравлики, в котором рассматриваются общие свойства движения жидкости без выяснения причин его возникновения, называется кинематикой.

Главной кинематической особенностью жидкостей и газов является их деформируе- мость, проявляющаяся в том, что в процессе движения изменяется расстояние между двумя любыми частицами. В кинематике существуют два способа описания движения – способ Ла- гранжа и способ Эйлера.

По способу Лагранжа движение жидкости задается путем указания зависимости коор- динат определенной (намеченной) частицы жидкости от ее начальных координат x0, y 0, z0 И от времени t:

x=x( x0 , y0 , z0, t);ü

0 0 0 );ý

y = y( x , y , z , t ï

0 0 0 þ

z = z(x , y , z , t). ï

(4.1)

Система уравнений (4.1) описывает траекторию движения частицы жидкости. Функ- ции х, у и z называются переменными Лагранжа. Для более полного описания состояния жидкости нужно задать и плотность ρ как функцию тех же координат:

ρ = ρ(x0, y0 , z0, t) .

На рис. 4.1 показана траектория движения частицы А в неподвижной системе коорди- нат, где за время t координаты частицы изменились с х0, у0, z0 на х1, у1, z1.

В переменных Лагранжа проекции

Z

А

А

z1

z0   x0

x1

y0

X

y1

скорости частицы и определяют по фор- мулам

u = dx ,

x dt

u = dy ,

y dt

u = dz,

z dt

проекции ускорения частицы по формулам

аx=

d 2 x

,

dt 2

аy=

d 2 y

,

dt 2

аz=

d 2 z

.

dt 2

Практически для решения боль- шинства инженерных задач нет необходи- мости в знании параметров движения от- дельных частиц, поэтому способ Лагранжа применяется только в особых случаях, на-

Y

Рис. 4.1. Траектория движения частицы жидкости

пример для описания переноса жидкостью мельчайших твердых частиц.

По способу Эйлера движение жидкости определяется полем скоростей частиц жидко- сти в пространстве в каждый момент времени, т.е. описывается движение различных частиц, проходящих через определенные (намеченные) точки пространства (рис. 4.2). Проекции ско- рости частиц жидкости на координатные оси являются функцией координат точек простран- ства х, у, z, относительно которых происходит движение, и времени:

ux= ux( x, y, z, t ),ü

y y ),ý

u = u ( x, y, z, t ï. (4.2)

z z þ

u = u ( x, y, z, t ).ï

Для более полного описания движения жидкости нужно задать и плотность r как функцию тех же переменных:

ρ = ρ(x, y, z, t) . (4.3)

Проекции ускорений частиц жидкости в определенных точках пространства опреде-

ляются по правилу дифференцирования сложной функции:

a =dux

=¶ux

dx +¶uxdy +¶ux

dz+¶ux ; ü

x

ay=

dt duydt

¶x

=¶uy

¶x

dt

dx +

dt

¶y

¶uy

¶y

dt

dy +

dt

¶z

¶uy

¶z

dt

dz +

dt

¶t ï

ï

;

¶uy ï

ï

¶t ý

du ¶u dx

¶u dy

¶u dz ¶u ï

z

a = z = z + z + z + z . ï

dt

dx dy

¶x dt

dz

¶y dt

¶z dt

¶t þ

Так как

дующем виде:

= ux,

dt

= uy,

dt

= uz,

dt

то система уравнений может быть записана в сле-

a = u

¶ux +u

¶ux +u

¶ux +¶ux ; ü

x x ¶x

¶uy

y ¶y

¶uy

z ¶z

¶uy

¶t ï

ï

¶uy ï

ay = ux ¶x

¶u

+ uy ¶y

¶u

+ uz ¶z

¶u

+ ;ý

¶t ï

¶u ï

4.4)

az = ux

z +u

z +u

z + z . ï

y

z

¶x ¶y

Кинематический смысл слагаемых в правой части уравнений системы (4.4) со- стоит в следующем. Первые три слагаемых каждого уравнения представляют собой соответствующую проекцию конвективно- го ускорения, которое образуется за счет изменения координат частицы, соответст- вующих ее передвижению (конвекции).

¶z ¶t þ

z

1

z1

u1(t1)

u1(t2)

u1(t3) 2

u2(t1)

u2(t2)

Последнее слагаемое каждого уравнения

z2 u2(t3)

представляет проекцию локального уско- рения, которое обуславливается изменени- ем поля скоростей со временем при фикси-

y1

x1 x2

x

рованных координатах.

При решении большинства инже- нерных задач необходимо знать, с какими скоростями различные частицы жидкости проходят через определенные элементы технологических машин и аппаратов. По- этому способ описания движения Эйлера принят основным.

y2

y

Рис. 4.2. Поле скоростей движения частиц жидкости в различные моменты времени