СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО

ОБОРУДОВАНИЯ

Большинство объектов химического машиностроения являются сложными системами, состоящими из отдельных узлов, деталей, агрегатов и т.п.

Сложная система – это объект, предназначенный для выполнения заданных функций, который может быть расчленен на элементы, каждый из которых также выполняет определенные функции и находится во взаимодействии с другими элементами системы.

Понятие сложной системы условно. Сложная система работает, как правило, в широком диапазоне условий эксплуатации и при различных режимах.

С позиций надежности сложная система обладает как отрицательными, так и положительными свойствами.

Факторы, отрицательно влияющие на надежность сложных систем:

1) большое число узлов, агрегатов, элементов, отказ каждого из которых может привести к отказу всей системы;

2) сложные системы часто являются уникальными или имеются в нескольких экземплярах, и статистические данные не могут быть использованы для оценки их работоспособности;

3) каждый экземпляр системы и машины одинакового конструктивного оформления имеет индивидуальные черты; незначительные вариации свойств отдельных элементов сказываются на выходных параметрах системы.

Факторы, положительно влияющие на надежность сложных систем:

1) сложным системам свойственна самоорганизация, саморегулирование, когда система способна найти наиболее устойчивое для своего функционирования состояние;

2) для сложной системы возможно восстановление работоспособности по частям, без прекращения ее функционирования;

3) не все элементы одинаково влияют на надежность сложной системы, и можно выделить ограниченное число тех элементов, которые в основном определяют ее работоспособность.

При рассмотрении сложных систем их разбивают на элементы с тем, чтобы вначале определить параметры и характеристики элементов, а затем оценить работоспособность всей системы.

Теоретически любую машину можно условно разделить на сколь угодно большое число элементов, понимая под элементом узел, агрегат, деталь, часть детали.

Элемент – это составная часть сложной системы, которая может характеризоваться самостоятельными входными и выходными параметрами.

Элемент обладает следующими особенностями:

1) состав элемента устанавливается в зависимости от поставленной задачи, и сам элемент может быть достаточно сложным и состоять из отдельных деталей и узлов;

2) при определении надежности системы элемент не расчленяется на составные части;

3) возможно восстановление работоспособности элемента независимо от других частей и элементов системы.

Расчет надежности включает теоретическое определение всех основных количественных характеристик (показателей надежности) элемента или системы.

На стадии проектирования такой расчет позволяет ориентировочно оценить ожидаемую надежность основных узлов и блоков. Если окажется, что расчетные значения показателей надежности окажутся ниже требуемых, то можно своевременно принять меры по их повышению, как в процессе проектирования, так и в процессе разработки технологии.

Оценка показателей надежности уже существующих аппаратов и линий позволяет грамотно решать вопросы технической эксплуатации, профилактики и текущего ремонта. Можно заблаговременно предусмотреть появление тех или иных неисправностей, повысив тем самым вероятность безотказной работы машины.

Различают две группы расчетов надежности систем: приближенный (ориентировочный) расчет и полный (окончательный) расчет.

Инженерных методов полного расчета до настоящего времени неизвестно. Ввиду этого на практике ограничиваются определением одной или двух количественных характеристик надежности, являющихся наиболее важными для данной системы или объекта, например:

- вероятность безотказной работы аппарата или линии

, (1)

- среднее время безотказной работы

, (2)

- интенсивность отказов

, (3)

а далее сравнивают эти характеристики с данными технических условий.

Надежность системы в целом зависит от надежности входящих в нее элементов, а также способа их включения в систему.

В теории надежности различают два основных вида соединения элементов: последовательное и параллельное (см. рис. 1 и 2).

Рис.1. Последовательное соединение элементов

Рис.2. Параллельное соединение элементов

Последовательное соединение элементов - соединение, при котором отказ одного какого-либо элемента вызывает отказ всей системы.

Последовательное соединение есть совокупность элементов, для которой необходимым и достаточным условием отказа является отказ хотя бы одного элемента, входящего в данную систему. В этом случае при условии, что отказ каждого из элементов системы является событием независимым, будем иметь:

. (4)

Пример 1. На рис.3 представлена схема надежности реактора с приводом.

Рис. 3. Схема надежности реактора

При рассмотрении схемы видно, что при отказе любого элемента произойдет отказ функционирования всей системы. Тогда, если считать отказы этих элементов (узлов) независимыми событиями, то вероятность безотказной работы реактора равна

, (5)

где - вероятность безотказной работы привода;

- вероятность безотказной работы перемешивающего устройства;

- вероятность безотказной работы корпуса реактора.

Обратимся к теоретико-множественным представлениям. На рис.4 в прямоугольнике универсального множества представлены множества , представляющие собой функционирование соответствующего элемента по рис.3. Т.е., если вероятность безотказной работы (надежность) привода – это попадание точки в область , вероятность безотказной работы (надежность) перемешивающего устройства – попадание точки в область и вероятность безотказной работы (надежность) корпуса – попадание точки в область , то множество работоспособных состояний всей системы соответствует пересечению множеств .

Рис.4. Последовательное соединение элементов

Тогда для надежности системы можно записать

. (6)

Если система состоит из элементов, получим

(7)

или в алгебраической записи

. (8)

Так как показатель надежности зависит от времени, выражение (8) можно записать в виде

, (9)

т.е. получим формулу (4).

Формула (4) является расчетной для определения показателя надежности системы с последовательным соединением элементов. Из этой формулы можно сделать следующие выводы:

1) надежность системы с последовательно соединенными элементами всегда будет ниже надежности самого ненадежного элемента системы

< ; (10)

2) чем сложнее система с последовательным соединением элементов, тем ниже ее надежность.

Если случайная величина (например, наработка до отказа) имеет экспоненциальный закон распределения, то на основании формулы (9) имеем:

, (11)

В частном случае, если система с последовательным соединением элементов состоит из одинаковых элементов, формула (9) приобретает вид:

. (12)

Если имеет место экспоненциальный закон распределения случайной величины

, (13)

то система (11) запишется в виде:

; . (14)

Но для экспоненциального закона

. (15)

Тогда

, (16)

т.е. средняя наработка до отказа (показатель долговечности) системы с последовательно соединенными одинаковыми элементами ниже средней наработки до отказа элемента в раз.

На рис.5 представлены графики зависимости надежности системы с одинаковыми последовательно соединенными элементами от времени при различных значениях показателя надежности отдельного элемента.

Рис.5. Зависимость надежности системы от времени и надежности ее

элементов

Пример 2. Сложная система состоит из двух последовательно соединенных элементов (см. рис.6). Система откажет, если откажет хотя бы один из входящих в нее элементов.

Рис. 6. Сложная система с двумя последовательно соединенными элементами

Допустим, что для элементов системы известно:

и .

Найдем эти показатели для системы

находится по формуле:

. (17)

Дифференцируем обе части уравнения (17) по :

Но , тогда

. (18)

Но , тогда

. (19)

Разделим уравнение (18) на (17):

Учитывая, что , получим

. (20)

Уравнения (17), (19) и (20) показывают, как функции системы с последовательным соединением выражаются через такие же функции элементов. Аналогичные формулы получаются при любом числе составляющих.

Параллельное соединение элементов – такое соединение, при котором система отказывает, если отказали все ее элементы.

Пример такой системы представлен на рис.7.

а) б)

Рис. 7. Система с параллельным соединением элементов: а) ; б)

На рис. 7,а представлен частный случай – дублирование элементов. На рис. 7,б приведена система, состоящая из трех элементов. Если отказывает любой из трех элементов, система остается работоспособной. Она будет работать и в том случае, если откажут любые два элемента, так как для обеспечения нормального функционирования системы достаточно функционирования всего одного элемента.

Определим вероятность безотказной работы системы, представленной на рис. 7,а, если известна вероятность безотказной работы каждого ее элемента.

Пусть - вероятность безотказной работы первого элемента, а - вероятность безотказной работы второго элемента. Тогда 1- - вероятность отказа первого элемента, а 1- - вероятность отказа второго элемента.

Вероятность отказа системы (событие – отказ и 1-го и 2-го элемента – по теореме умножения вероятностей) будет

Вероятность безотказной работы системы будет:

. (21)

В частном случае, если параллельно соединенные элементы имеют одинаковое значение вероятности безотказной работы, т.е.

получим выражение

. (22)

Если система состоит из элементов, формула (22) приобретает вид:

. (23)

Обратимся к теоретико-множественным представлениям.

Пусть в системе из трех элементов вероятность безотказной работы каждого из элементов будет . Интерпретируем эти значения геометрически. На рис. 8 в прямоугольнике универсального множества показана система кругов , все точки которых соответствуют безотказной работе элементов системы 1, 2, 3, т.е. любая точка заштрихованного множества объединения отвечает состоянию безотказной работы системы.

Рис. 8. Система с параллельным соединением элементов

(24)

или в алгебраической записи

. (25)

Если система состоит из элементов с одинаковой вероятностью безотказной работы каждого элемента, то получим

. (26)

Т.к. показатель надежности зависит от времени, выражение (26) можно записать в виде

т.е. получаем формулу (23).

Для системы с параллельным соединением элементов можно сделать выводы:

1) надежность системы выше надежности отдельного элемента, включенного в систему;

2) надежность системы увеличивается с увеличением числа элементов.

Комбинированное соединение элементов.

В химической промышленности и родственных отраслях в большинстве случаев встречаются машины, аппараты и технологические схемы, которые невозможно интерпретировать как системы с последовательным или параллельным соединением элементов. Как правило, это системы с комбинированным соединением элементов.

Определим вероятность безотказной работы системы с комбинированным соединением элементов, зная вероятности безотказной работы отдельных элементов.

Сначала на основании технологической схемы необходимо составить структурную схему надежности. Для этого надо, перечисляя последовательно каждый структурный элемент, задавать вопрос: «Что будет, если данный элемент откажет?» Если откажет вся система, значит данный элемент (в смысле надежности) включен последовательно, а если отказа системы не последует, то этот элемент включен параллельно. В соответствии с данной методикой составлена структурная схема, представленная на рис. 9.

15 16 17

Рис. 9. Система с комбинированным соединением элементов

Для упрощения записи расчетных выражений надежности схемы воспользуемся теоретико-множественной записью формулы надежности рассматриваемого производства:

(27)

В выражение (27) введены для удобства вспомогательные элементы 15, 16 и 17 с вероятностями безотказной работы и и получена система с последовательно соединенными элементами. Для каждого вспомогательного элемента можно записать выражение для его вероятности безотказной работы.

, (28)

, (29)

. (30)

Подставим (28), (29) и (30) в (27)

. (31)

Теперь перейдем от теоретико-множественных обозначений к обычной алгебраической записи. Теоретико-множественное пересечение в алгебраическом смысле записывается как произведение - , а объединение представляется формулой .

Следовательно, получим

. (32)

Выражение (32) дает возможность определить надежность структурной схемы, представленной на рис. 9.

Если предположить, что наработку до отказа (или наработку на отказ) можно оценить экспоненциальным законом распределения, и для каждого элемента данной системы известны интенсивности отказов (или параметры потока отказов ), то получим выражение типа:

, если . (33)

В частном случае для системы, приведенной на рис. 9, ; ; , что может быть, когда оборудование, например, насосы из одной партии, выпущены одним заводом, в одно и то же время. Тогда формула (32) примет вид:

(34)

Если известны значения и время, то нужно подставить эти значения в выражение (34) и определить .

Если необходимо найти среднюю наработку до отказа , то можно воспользоваться выражением

, (35)

которое предварительно приводится к удобному для интегрирования виду.

Для упрощения расчетов формулу (34) можно разделить на блоки:

, (36)

, (37)

, (38)

. (39)

Тогда формула (34) запишется так

(40)

Расчет по формуле (40) сводится в табл. 1.

Таблица 1

Расчет надежности системы

, ч

На основании данных табл. 1 можно сделать вывод о «слабом звене» в этой технологической схеме, т.е. определить звено с низким значением показателя надежности. Следовательно, для повышения надежности всей системы надо позаботиться о повышении надежности «слабого звена». Повысить надежность системы можно за счет установки более надежных единиц оборудования либо за счет увеличения резерва.

Изменение вероятности безотказной работы данной сложной технологической системы во времени можно представить в виде кривой (см. рис. 10).

Рис. 10. Зависимость вероятности безотказной работы системы от времени

Используя рис. 10, можно решить следующие задачи.

1. Определить вероятность безотказной работы системы после ее непрерывного функционирования в течение заданного числа часов . Ответом будет значение , построенное так, как это показано на рис. 10. Если необходимо определить вероятность отказа , то .

2. Определить ресурс функционирования сложной системы при условии, что вероятность ее безотказной работы к концу этого срока не должна быть ниже заданного допустимого уровня .

Эта задача является обратной к предыдущей. На рис. 10 показано определение ресурса по заданному минимально допустимому уровню .

Если в справочных данных о надежности элементов системы даны возможные минимальные и максимальные значения интенсивности отказов ( и ) или параметра потока отказов ( и ), то задачу о надежности необходимо решать дважды: один раз для минимальных, второй раз для максимальных значений показателя надежности. Соответственно этому будут получены минимальные и максимальные значения показателя надежности системы.

На рис. 11 показана зона возможных значений показателей надежности системы (заштрихованная область).

Рис. 11. Возможные значения показателя надежности системы

ЛЕКЦИЯ 3

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Существуют сложные системы, которые невозможно интерпретировать в виде набора элементов с последовательным или параллельным соединением.

На рис.1, а показана система, которая нормально функционирует только в том случае, если в работоспособном состоянии находятся два любых ее элемента. Отказ системы наступает, когда отказывают два или три элемента. Такие системы обычно именуют системами «2 из 3-х».

а) б)

Рис. 1. Системы « из »

На рис.1, б представлена система, которая нормально функционирует, если в работоспособном состоянии находятся 2 из 4 или 3 из 4 элементов. В общем виде такие системы называют системами « из » элементов.

На рис.2 представлена так называемая «мостиковая» система. Система откажет, если откажут элементы 1 и 2 или 4 и 5. Если откажут элементы 2 и 4, то процесс пойдет по пути 1, 3, 5. Если откажут элементы 1 и 5, то процесс пойдет по пути 2, 3, 4. Если откажут элементы 1, 3, 5 или 2, 3, 4, то проведение процесса невозможно.

Рис. 2. «Мостиковая» система

На рис. 3 представлена система разветвляющегося типа. Эта система перестает функционировать в тех случаях, если отказали, например, элементы 2 и 3; 2, 6 и 7 и т.д.

Рис. 3. Система разветвляющегося типа

Остановимся более подробно на анализе надежности системы «2 из 3-х», представленной на рис.1, а.

В теории надежности существуют следующие методы расчета надежности сложных технических систем:

1) метод прямого перебора всех возможных состояний элементов;

2) комбинаторно-аналитический метод;

3) метод минимальных путей;

4) метод минимальных сечений.

Рассмотрим подробнее все эти методы.

Метод прямого перебора всех возможных состояний элементов, т.е. работоспособного и неработоспособного.

Основная идея этой методики заключается в том, что множество всех возможных состояний элементов разбивают на два подмножества: подмножество работоспособных состояний и подмножество неработоспособных состояний. Затем вычисляют вероятности всех возможных работоспособных состояний (или неработоспособных, смотря, каких состояний меньше, чтобы уменьшить объем вычислительных работ) и складывают их. Сумма всех этих вероятностей и будет вероятностью работоспособного состояния системы (числовым показателем надежности, например, вероятности безотказной работы системы).

Пусть вероятности безотказной работы всех элементов системы будут одинаковыми, обозначим их буквой . Тогда вероятность отказа будет

(1)

Известно, что число всех возможных вариантов сочетания элементов будет:

, (2)

где - число элементов в системе.

Тогда для системы (рис.1, а) имеем и .

Составим расчетную табл. 1.

Таблица 1

№ варианта	Номера отказавших элементов	Состояние элемента	Состояние системы	Вероятность состояния системы
1-го	2-го	3-го




	1,2				-
	1,3				-
	2,3				-
	1,2,3				-

В колонке 1 - номера вариантов: с 1-го по 8-й. В колонке 2 записаны номера отказавших элементов. В колонках 3, 4 и 5 – состояние 1, 2 и 3-го элементов. Элементы могут быть только в двух состояниях: работоспособном и отказа. Символом «1» обозначено работоспособное состояние элемента, а символом «0» – состояние отказа. В колонке 6 указано состояние системы с такой же символикой. Система работоспособна, если работоспособны 2 из 3-х ее элементов. В колонке 7 вероятность состояния системы получена перемножением вероятностей состояний элементов данного варианта системы.

Просуммируем все вероятности работоспособных состояний системы:

. (3)

Учитывая (1), имеем

. (4)

Если – вероятность безотказной работы системы, то вычисляется и среднее значение времени функционирования системы до отказа

. (5)

Комбинаторно-аналитический метод расчета надежности сложных систем.

Согласно формуле Бернулли вероятность функционирования из элементов имеет вид:

, (6)

где - число вариантов по элементов из общего числа элементов.

Для определения надежности системы надо просуммировать вероятности, обеспечивающие ее работоспособное состояние:

, (7)

Подставим в формулу (7) выражение (6):

или сокращенно

(8)

Для системы, представленной на рис.1, а, =2, =3. Тогда запишем

Так как ; ; , то получим

После преобразований получаем

. (9)

Получаем совпадение с формулой (4), полученной методом прямого перебора всех возможных состояний элементов.

Методы минимальных путей и минимальных сечений.

Минимальным путем называется последовательный минимальный набор работоспособных элементов данной системы, который обеспечивает функционирование системы, а отказ любого одного из этих элементов приводит к отказу системы.

Минимальным сечением называется последовательный минимальный набор неработоспособных элементов, который приводит к отказу системы, а восстановление одного из них приводит к восстановлению работоспособности всей системы.

В сложных системах может быть несколько минимальных путей и минимальных сечений.

Для системы, приведенной на рис.1, а:

минимальные пути: 1) 1, 2; 2) 1, 3; 3) 2, 3;

минимальные сечения: 1) 1, 2; 2) 1, 3; 3) 2, 3.

Для системы с последовательным соединением элементов имеется всего один путь и сечений, если - число элементов системы.

Для системы с параллельным соединением элементов число путей , т.е. равно числу элементов системы, а сечений - одно.

Для исследуемой системы необходимо выявить все минимальные пути или минимальные сечения. Далее необходимо составить фиктивную структурную схему соединения: для минимальных путей - параллельное соединение всех минимальных путей; для минимальных сечений – последовательное соединение всех минимальных сечений.

Составим фиктивные структурные схемы на основе минимальных путей (см. рис. 4) и минимальных сечений (см. рис.5) для системы, приведенной на рис.1, а.

Рис. 4. Фиктивная структурная схема на основе минимальных путей

Рис. 5. Фиктивная структурная схема на основе минимальных сечений

Составим условные системные функции для фиктивных схем, представленных на рис. 4 и 5.

Условная системная функция по рис. 4 имеет вид:

, (10)

где - показатель надежности элемента, , если элемент работоспособен и , если элемент неработоспособен; - номера элементов, .

Условная системная функция по рис.5 имеет вид:

. (11)

Особенностью условной системной функции является то, что она составлена на использовании альтернативных переменных, которые могут принимать значения 1 или 0. Следовательно, условная системная функция тоже может принимать значения 1 или 0. А это значит, что при решении уравнений (10) и (11) степени при не имеют значения, так как 1 и 0 в любых степенях дают 1 и 0.

Преобразование (10) и (11) и удаление степеней приведет к следующему:

. (12)

Далее условная системная функция, составленная для фиктивной схемы, заменяется функцией надежности первоначальной структурной схемы системы . Переменные заменяются соответствующими функциями , т.е. функциями надежности элементов. После замены функции и переменных в (12) придем к выражению следующего вида:

. (13)

К выражению (13) можно прийти как через минимальные пути, так и через минимальные сечения.

В частном случае, если

уравнение (13) можно записать в виде

. (14)

Такое же уравнение было получено и методом прямого перебора всех возможных состояний элементов и комбинаторно-аналитическим методом.

Пример. На рис.6 представлены различные варианты схем соединения компрессоров в компрессорном отделении установки. В схемах используются компрессоры производительностью , , . Производству требуется сжатый газ в количестве . Требуется определить:

1) Вид системы (в смысле надежности).

2) Произвести расчет надежности каждой системы, имея в виду, что надежность всех элементов одинакова и равна .

Схема 1 Схема 2

Схема 3 Схема 4

Рис. 6. Схемы соединений компрессоров

Схема 1. Чтобы иметь на выходе из системы производительность , необходимо, чтобы работали оба компрессора. Следовательно, элементы (в смысле надежности) соединены последовательно.

Надежность системы: .

Схема 2. Чтобы иметь на выходе из системы производительность , достаточно, чтобы работал один из компрессоров. Следовательно, элементы соединены параллельно.

Надежность системы: .