Неопределённые системы.

В общем случае, основная матрица системы не квадратная, а прямоугольная. При этом базисный минор порядка , где . Возможно, что ранг даже и строго меньше, .

Если ранг основной матрицы меньше, чем число неизвестных, т.е. , то система неопределённая, так как есть столбцы, не входящие в базисный минор, эти неизвестные переносятся вправо.

Если (ранг меньше числа уравнений) то в процессе преобразований методом Гаусса получатся строк, состоящих из нулей. Уравнения, соответствующие им, в системе уравнений не несут никакой информации: . Такие уравнения просто вычёркиваются.

А если т.е. ранг меньше числа неизвестных (то есть базисный минор не заполняет всю матрицу до правого края), переменных нужно перенести вправо в каждом уравнении (они называются свободными переменными), а базисных переменных оставить слева. Фактически, при этих действиях мы стремимся к тому, чтобы слева получить именно квадратную матрицу (порядка ), причём она уже будет приведена к треугольному виду, и можно будет выражать неизвестные поочерёдно. Но в отличие от определённых систем, справа в это время не просто константы, а блоки, состоящие из констант и свободных неизвестных.

Итак, переменных будут не конкретными числами, а функциями от последних переменных. Совокупность таких выражений называется ОБЩИМ РЕШЕНИЕМ.

Если присвоить какие-либо значения свободным переменным и вычислить базисных, то получим тогда уже конкретный набор из n чисел, это называется ЧАСТНЫМ РЕШЕНИЕМ. Частных решений может быть бесконечно много, потому что присваивать свободным неизвестным можно любые действительные значения.

Теорема 1.Пусть система линейных уравнений совместна.

1) решение системы единственно.

2) решений бесконечно много.

Доказательство.

1) столбцы основной матрицы линейно независимы.

Необходимость. Пусть столбцы ЛНС. Докажем, что решение системы единственно. Пусть какое-то решение системы, т.е.

Или в краткой форме .

Если существует какое-то иное решение , то также верно

. Тогда разность этих двух равенств:

, но это означало бы, что система столбцов основной матрицы ЛЗС. Итак, если столбцы ЛНС, то решение единственно.

Достаточность докажем от противного (тем самым заодно докажем п.2). Нужно доказать, что решение единственно столбцы ЛНС. Докажем, что если столбцы ЛЗС, то решений бесконечно много.

Пусть столбцы основной матрицы являются линейно зависимыми, это значит, что какой-либо из них можно выразить через другие. Например, пусть это верно для столбца n.

.

Если есть какое-либо решение системы :

Но , тогда:

То есть, решением является, кроме , также

Кроме того, для всякого действительного числа можно представить , а значит, в последнем слагаемом решения:

, где выразить через все остальные векторы-столбцы тот, что с коэффициентом :

Тогда

.

Таким образом, решением является ( ):

.

Итак, если столбцы основной матрицы ЛЗС, то решений бесконечно много, что и требовалось доказать.

Пример 1. Решить систему уравнений .

Решение.Запишем расширенную матрицу, вычтем из 2-й строки 1-ю.

Здесь всего две строки, так что метод Гаусса проводится достаточно коротко.

Видим, что базисный минор можно выбрать в первых двух столбцах. Получается, что 3-я переменная свободная. Перепишем снова в виде системы, а не матрицы.

переносим вправо:

Выражаем , а затем поднимаемся в 1-е уравнение и ,через константы и . Впрочем, фактически и так уже выражено:

. Подставим это выражение в 1-е уравнение

, тогда

общее решение системы:

Также записывается в виде вектора: .

Задавая какое-либо значение , всякий раз можем вычислить остальные переменные, и получить тройку чисел. Частные решения: (1,1,0) или (2,-1,1) или (3,-3,2) ... их бесконечно много.

Ответ.Общее решение .

Заметим,что разности любых двух частных решений здесь пропорциональны вектору , и подходят в качестве решения однородной системы:

- - - Перерыв - - -

Пример 2.Решить систему уравнений .

Запишем расширенную матрицу и преобразуем её методом Гаусса:

Из 2-й строки отняли 1-ю, из 3-й удвоенную 1-ю. Замечаем, что 2 и 3 строка одинаковы, вычитаем из 3-й 2-ю, и 3-я строка получилась состоящей из 0. Это уравнение 0 = 0 , очевидно, его можно вычеркнуть. Базисный минор 2 порядка можно найти в левом верхнем углу. Здесь m = 2, n = 3, r = 2.

Развернём две оставшихся строки снова в систему уравнений:

Здесь перенесём вправо, 3-я переменная - свободная, базисный минор в левом углу. Замечание. Впрочем, это не единственный вариант: базисный минор можно составить из фрагментов 1 и 3 столбца, тогда была бы свободная. Итак, перенесём :

Основная матрица системы фактически стала квадратной, 2 порядка, т.е. множество коэффициентов при базисных переменных образует квадратную матрицу: .

Просто справа при этом не только константы, а составные выражения из констант и каких-то параметров.

. Подставим это выражение в 1-е уравнение, чтобы выразить отдельно через .

в итоге .

Итак, - общее решение.

В нём есть один свободный параметр .

Можно записать также и в виде вектора: .

Если задавать любое , будет получать тройки чисел, которые служат частными решениями.

Например, при = 1 получим (1,1,1). При = 0 получим (0,3,0). Частных решений бесконечно много.

Количество свободных неизвестных . Как правило, это последние, но всё зависит от строения системы. Если, например, 2-й столбец кратен первому, то базисный минор не удастся выбрать в левом верхнем углу, а только с разрывом через второй столбец, тогда 2-й столбец не будет базисным, тогда - свободная переменная, а не базисная.