Несущая способность тонкостенной балки

Тонкостенная балка изображена на Рис.22.2. Такая балка - типовая, упрощенная расчетная модель для лонжерона крыла современного самолета. Она состоит из верхнего и нижнего поясов, стенки и стоек, которые разделяют стенку на ряд независимо работающих панелей. При расчете такой балки обычно используются следующие упрощающие гипотезы:

1. Внешняя нагрузка прикладывается только в узлах, а распределенная нагрузка раскладывается по узлам по правилу рычага.

2. Пояса и стойки работают только на растяжение - сжатие.

3. Стенка до потери устойчивости воспринимает только касательные напряжения. Другими словами, здесь предполагается, что стенка находится в состоянии чистого сдвига. Мало того - при отсутствии нормальных напряжений имеем касательные напряжения в стенке, которые постоянны в пределах каждой клетки.

В результате принятых гипотез тонкостенная балка стала статически определимой. В любом поперечном сечении балки - три неизвестных , которые получаются из уравнений равновесия

, .

Зависимости показаны на Рис.22.2.

Усилия в стойках определяются из равновесия сечений поперек стоек Рис.22.3.

.

Такие факторы определялись в курсе "Строительная механика".

Обшивка удлиненных стенок теряет устойчивость по формуле (16.15), с образованием косых волн (Рис.22.4 а ). Но панель, тем не менее, продолжает работать за счет стрингеров. Интересно оценить потерю устойчивости всей панели, когда потеряют устойчивость и окантовки. Точное решение этой нелинейной задачи не рассматривается при проектировании. А приближенное решение очень простое.

После потери устойчивости стенкой в панели образуется диагональное поле растягивающих нормальных напряжений (Рис.22.4 б). Стенка воспринимает дополнительную нагрузку за счет растягивающих напряжений, параллельных гребням волн. Будем считать, что стенка находится в состоянии одноосного растяжения но под углом по отношению к поясам.

Угол пока неизвестен.

Косые напряжения можно привести к самоуравновешенным напряжениям , показанным на Рис.22.5 в).

Вырежем из обшивки два косых элементика и уравновесим их, учитывая, что напряжения действуют по площадке .

Из элемента 1

,

Из элемента 2

,

Из этих равенств имеем

, ,

Из первого равенства выражаем и подставляем в два других

,

Подставляя сюда , имеем формулы для дополнительных напряжений после потери устойчивости стенки. Эти напряжения распределены равномерно по контуру стенки и сводятся в принятых гипотезах к дополнительным усилиям по вертикали и горизонтали .

Таким образом, для балки на Рис.22.4 в) имеем

,

Теперь нужно только найти угол .

Найденное напряженное состояние является статически возможным. Истинное состояние можно выделить из возможных, записав условие минимума дополнительной потенциальной энергии системы

Здесь - модули упругости материалов обшивки, поясов и стоек, а - площади их поперечных сечений.

Подставив сюда формулы для напряжений и усилий, после интегрирования получим

Условие минимума дополнительной энергии после некоторых преобразований имеет вид

.

Эта формула выведена для одной клетки, но подход справедлив и для многих.

Таким образом, зная углы в каждой клетке, мы получили усилия в окантовывающих стержнях после потери устойчивости стенки и по их максимальным значениям можем судить об устойчивости стержней, а стало быть и обо всей несущей способности тонкостенной балки.