Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки

В задачах устойчивости стержней и пластин критические нагрузки пропорциональны изгибным жесткостям

и не зависят от жесткостей на растяжение - сжатие.

При деформации же оболочек вследствие их кривизны удлинения и сдвиги срединной поверхности имеют тот же порядок, что и прогибы. Это влечет за собой не только зависимость от жесткости срединной поверхности, приводящее к тому, что результат зачастую не может быть выражен формулой, но порождает также и качественно иную картину потери устойчивости.

Поскольку потеря устойчивости всегда сопряжена с изгибными деформациями, для ее исследования необходимо использовать соотношения моментной теории оболочек. Приведем упрощенные линейные соотношения для моментной цилиндрической оболочки.

Компоненты деформации срединной поверхности

(20.1)

Углы поворота нормали

. (20.2)

В предположении, что деформации срединной поверхности не влияют на ее кривизну

. (20.3)

Погонные усилия и моменты, положительные направления которых показаны на рис.20.1, выражаются через соответствующие деформации формулами

(20.4)

(20.5)

Уравнения равновесия показанного на рис.20.1 элемента в недеформированном состоянии имеют вид

(20.6) (20.7)

(20.8)

После исключения с помощью (20.8) уравнение (20.7) принимает вид

(20.9)

Таким образом, задача свелась к системе трех уравнений (20.6), (20.9). Ее можно решать в перемещениях, выражая с помощью (20.1) - (20.5) через . Однако удобнее перейти к смешанной форме.

Вводя аналогично плоской задаче функцию усилий с помощью соотношений

(20.10)

мы тождественно выполняем уравнения (20.6), но при этом обязаны привлечь уравнение совместности деформаций, имеющее вид

.

В итоге задача сводится к системе не трех, а двух уравнений

(20.11)

Эту систему можно свести и к одному уравнению, исключив функцию . Для этого необходимо второе уравнение дважды продифференцировать по , а на первое подействовать оператором . В итоге получим уравнение восьмого порядка

(20.12)

Отметим, что такое сведение возможно лишь для упрощенных геометрических соотношений (20.2),(20.3) с отброшенными членами. В противном случае задачу следует решать в перемещениях.

Построив тем или иным способом решение системы (20.11) и подчинив его граничным условиям, мы найдем напряженно-деформированное состояние оболочки при сколь угодно большой нагрузке. Поскольку эти уравнения линейны, решение будет единственным.

Как известно, для решения задачи устойчивости таких уравнений недостаточно. Необходимо записать нелинейные уравнения равновесия оболочки в деформированном состоянии.